關於x的方程：3的x次方+4的x次方=5的x次方，是否有2以外的解？

沒有。不光這個方程沒有，把題目中的3、4、5換做任意三個正整數，x都只能是1或2時有解，在x大於2時都沒有解。這就是費馬大定理。

費馬，法國律師，業餘數學家，對解析幾何、微積分、數論、物理學都有重大貢獻，被稱為業餘數學家之王。

費馬在業餘時間研讀了很多數學著作，經常會提出自己的猜想。而且，作為一個業餘數學家，費馬的眼光和見解一點不比專業數學家差。他會在書的空白處寫下自己的猜想，時常會跟上一句「這個定理我已經得到了證明，但是因為空白太小了，我就不寫了」，由此誕生了許多數學史上困擾人們的難題。有的難題困擾了世界幾十年，有的困擾了幾百年。

例如：在高中數學教材上引用了費馬的一個猜想：2^（2^n）+1對於所有的正整數n都得到一個質數。例如n=1時，這個數是5，質數；n=2，這個數是17，質數；n=3，這個數是257，質數，n=4，這個數是65537，也是質數…

這個猜想使得無數數學家費勁腦汁思索了五十年，直到人擋殺人佛擋殺佛的數學家歐拉出現之後，這個問題才得以解決。

歐拉指出：費馬這個猜想是錯誤的。證明方法很簡單：當n=5時，結果是4294967297，他等於641*6700417，不是質數。

關於題主提出的問題，則是費馬另一個更為著名的猜想：費馬大定理。

當整數n >2時，關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。

n=1，這個結果變為x+y=z，顯然有無窮多解；

n=2，這個等式變為勾股數，也是無窮多組解；

n=3、4、5…時, 有沒有整數解呢？

費馬管殺不管埋，提出定理後自稱已經證明，空白太小就不寫了。卻為數學界留下了一個困擾三百多年的難題。牛如歐拉，也只證明了n=3時沒有整數解的情況。

直到300多年後，1995年，費馬大定理才被英國數學家安德魯懷爾斯證明。

費馬在物理學領域也有很大貢獻，例如費馬指出：光總是沿著時間最短的路徑傳播。例如在光的折射現象中，光在空氣和水中傳播速度不同，滿足折射定律的路徑是時間最短的。

費馬一生從沒接受過專業的數學教育，卻成為了十七世紀法國最偉大的數學家。讓我們記住這個超級民科的名字：費馬。

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取y=x/2.

3^x+4^x=5^x等價於9^y+16^y=25^y等價於(9/25)^y+(16/25)^y=1，

當y大於1時，上式右邊大於左邊。

當y小於1時，上式左邊大於右邊。

當y=1時，存在一個解

所以原式只有一個解x=2.