對角化和相似對角化有什麼區別？

矩陣可對角化的條件

n階方陣A可以對角化的充要條件：A有n個線性無關的特徵向量。

如何對角化矩陣?

（維基參考http://zh.wikipedia.org/wiki/對角化）

考慮矩陣

A=egin{bmatrix}

1 & 2 & 0 \

0 & 3 & 0 \

2 & -4 & 2 end{bmatrix}.

這個矩陣有特徵值

lambda_1 = 3, quad lambda_2 = 2, quad lambda_3= 1.

所以 A 是有三個不同特徵值的 3 × 3 矩陣，所以它是可對角化的。

如果我們要對角化 A，我們需要計算對應的特徵向量。它們是

v_1 = egin{bmatrix} -1 \ -1 \ 2 end{bmatrix}, quad v_2 = egin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 end{bmatrix}, quad v_3 = egin{bmatrix} -1 \ 0 \ 2 end{bmatrix}.

我們可以輕易的驗證 A v_k = lambda_k v_k。

現在，設 P 是有這個特徵向量作為縱列的矩陣:

P=

egin{bmatrix}

-1 & 0 & -1 \

-1 & 0 & 0 \

2 & 1 & 2 end{bmatrix}.

則 P 對角化了 A，簡單的計算可驗證:

P^{-1}AP =

egin{bmatrix}

0 & -1 & 0 \

2 & 0 & 1 \

-1 & 1 & 0 end{bmatrix}

egin{bmatrix}

1 & 2 & 0 \

0 & 3 & 0 \

2 & -4 & 2 end{bmatrix}

egin{bmatrix}

-1 & 0 & -1 \

-1 & 0 & 0 \

2 & 1 & 2 end{bmatrix} =

egin{bmatrix}

3 & 0 & 0 \

0 & 2 & 0 \

0 & 0 & 1end{bmatrix}.

注意特徵值 lambda_k 出現在對角矩陣中。

矩陣對角化應用

對角化可被用來有效的計算矩陣A的冪，假如矩陣是可對角化的。比如我們找到了

P^{-1}AP = D ,

是對角矩陣，因為矩陣的積是結合的，

egin{align} A^k &= (PDP^{-1})^k = (PDP^{-1}) cdot (PDP^{-1}) cdots (PDP^{-1}) \

&= PD(P^{-1}P) D (P^{-1}P) cdots (P^{-1}P) D P^{-1} = PD^kP^{-1} end{align}

而後者容易計算，因為它只設計對角矩陣的冪。

矩陣相似

設A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.

相似對角化的意義

矩陣的相似對角化意義是明顯的。相似是一種等價關係，對角化相當於對一類矩陣在相似意義下給出了一種簡單的等價形式，這對理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質，比如特徵多項式，特徵根，行列式……如果只關心這類性質，那麼相似的矩陣可以看作沒有區別的，這時研究一個一般的可對角化的矩陣，只要研究它的標準形式，一個對角矩陣就可以了。而對角矩陣是最簡單的一類矩陣，研究起來非常方便。這個過程相當於在一個等價類中選取最順眼的元素研究。

另外，對角化突出了矩陣的特徵值，而過度矩陣T反映了特徵向量的信息，對角化過程的直觀意義還是很明顯的。再結合正交矩陣的概念，可以得到一些不平凡的結論，例如實對稱矩陣總可以對角化。

實踐中的矩陣對角化作用也很大。別的不說，比如要算一個一般的3階實對稱矩陣A的n次冪，n較大時，按矩陣乘法定義去計算是相當繁瑣的，計算複雜度呈指數型增長。但是如果把A可以對角化(實對稱矩陣總是可以對角化的)，寫為=T^(-1)PT, P是對角陣。那麼A^n=T^(-1)P^nT, P^n的計算是很簡單的，只要把各特徵值^n即可，此時計算A^n的複雜度幾乎與n無關。