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數學歸納法靠譜嗎?


題主你好。數學歸納法是靠譜的。數學歸納法其實是把一個複雜問題化為一個簡單的問題,只不過這種簡化的方式與一般證明的思路不同,它是把一個具有遞推性的問題通過逐級遞降變成兩個證明難度低於原命題的但是加起來與原命題相互等價的命題。舉一個例子來說,比如證明1+2+3+……n=n(n+1)/2。那麼要證明這個命題等價於要同時證明以下兩個子命題:

①1=(1+1)/2;②k=k(k+1)/2-k(k-1)/2,k>1。

第一個子命題很簡單,第二個子命題也很簡單。這兩個子命題同時成立就可以說明原命題成立。因為,我們將第二個子命題做逐級相加,並把第一項選為k=1——也就是子命題①——那麼就等於原命題。

要注意的是,數學歸納法的這種劃歸出來的兩個子命題如果同時成立那麼原命題一定成立,但是如果兩個子命題並不成立,不代表原命題不成立。也就是說,我們拆分出來的子命題是否和原命題等價是值得討論。用另一個例子說明:命題1+1/2+1/3+……1/n>lnn。如果我們這樣拆分出兩個子命題:

①1>ln1;②1/k>lnk-ln(k-1),k>1.

那麼我們發現第二個子命題不成立——令k=2,左邊是0.5,右邊是ln2>0.5。但是原命題是成立的,這是為什麼?很簡單,對於不等式的放縮存在放得過大或者放得太小,第一個子命題放得太大,第二個子命題則過小,因此它們合起來得到的原命題是成立的,但是第二個子命題不成立。因此我們需要重新放縮。利用不等式ln(1+x)<x來放縮,可以發現ln(1+1/x)<1/x,那麼我們得到這樣的子命題:

①1>ln(1+1)=ln2;②1/k>ln(k+1)-lnk,k>1.

這次就行了,兩個字命題明顯成立。因此,原命題成立。

當然,這個題目還有一個證明方法,利用前面的不等式直接求和。至於不等式ln(1+x)<x的證明,這個要用到導數的知識,也就是高中二年級的知識。


一句話答案:數學歸納法肯定絕對是靠譜的!


因為,從1,2,3....n,再加上n+1,相當於包括了所有的自然數。不會有意外!


一直有疑問。

數學歸納法的步驟是先證明n=1時命題成立,然後假設n=k時命題也成立,最後證明n=k+1也成立,最終得出命題始終成立的結論。

上述步驟的問題是n=k+1時命題成立是建立在n=k時命題成立的基礎上的,但後者在整個解題過程中又只是一個假設,並沒有給出證明,這點疑問始終不解啊。


首先數學歸納法只針對關於自然數的命題。

其次自然數本身並沒有完整的定義性描述,通常用皮亞諾公理來描述。

最後比較一下數學歸納法的方法步驟和皮亞諾公理,可以發現歸納法就是公理的實際用途之一。

結論:只要自然數還是通過皮亞諾公理來描述的,數學歸納法就不會出現問題。


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