如何簡單的求證1+1=2？

06-10

就是個小學一年級的算式，但，但，但也是個需要證明的問題……。證明很簡單，但要說明證明的前提費點事兒。證明1+1=2需要兩個前提，自然數公理和加法定義。

數學分支很多，每一個分支都有基本公理（公設）和定義作為基礎，剩下的一些定理公式都有這些公理和定義推導出來。「1+1=2」，既不是自然數公理，也不是定義，因此需要證明。所謂自然數就是自然而然的數字，我們人類原始狀態就會掰著手指頭數數，為啥還要公理定義呢，這就是牽扯到數學的邏輯嚴謹，也要區分與其它數的分別。想嚴格定義一個東西是非常難得事情，自然數公理直到1899年才由數學家皮亞諾提出。

自然數公理又稱為皮亞諾公設，有五條，符合了這五條才是自然數。

文字表述如下（數學表達雖然更精確，但看起來有點難於理解），括弧里大概的解釋：

①0是自然數（這一條和第四條規定了自然數的起點）；

②每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a" ，a" 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，規定了自然數延伸和無限性）；

③如果b、c都是自然數a的後繼數，那麼b = c（這一條規定了每一個自然數的後繼數是唯一的）；

④0不是任何自然數的後繼數（這一條保證了自然數的延伸方向性，不會轉圈，也就是不會出現半夜十二點就是第二天零點的狀況）；

⑤任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數0是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n" 也真，那麼，命題對所有自然數都真。（這一條就是數學歸納法，它間接地規定了自然數延伸的間距步長，這一條就不多解釋了，篇幅就太長了）

總結起來就是符合和這五條，自然數的數軸就是下面這個樣子了，一個等步長方向確定無限延伸的數軸。

數軸下邊的那些0"，0""的是基本定義，為了方便表述，就用數軸上邊的這些符號，也就是1、2、3、4…等等代替。

為什麼要這麼麻煩呢，就是嚴謹。其實不光數學，身邊的習以為常的東西嚴格定義都是挺麻煩的一件事，比如說啥是人類，會蓋房子，能思考，有語言能力，直立行走么？好像是人類獨有，但再想想烏鴉也都會。

有了自然數，再看看自然數加法是個啥東東。

自然數加法定義如下：

有了公設和定義我們終於可以證明1+1=2啦！這個算式用語言表述就是兩個0的後繼數相加等於0的後繼數的後繼數。證明如下（注意1是0的後繼數的符號，2是1的後繼數符號）：

0"+0"=（0"+0）"=（0+0）"" =0""

或者1+1 = 1+0" =（1+0）" = 1" = 2

根據1+1=2的證明，我們可以證明0m+0n=0m+n（m和n代表0的第多少位後繼數，而不是多少次方），也就是我們的常用自然數加法是成立的。

謝邀請！

首先要說明，「1 + 1=2」是定理，不是不證自明的公理。所以，它需要證明，且可以被證明。證明需要：①自然數的定義；②自然數加法定義：a +1等於 a 的後繼（a∈自然數）。

證明：∵1是自然數（根據①）

∴1有唯一的後繼 2（根據①）

又∵1+1 等於1的後繼（根據②）

∴ 1+ 1=2

證畢.

需要強調的是：一位數加法的所有結果，都是被編成加法口訣的定理。它們建立在①、②的公設基礎之上，顛撲不破，拿來即用，不必再證明。

小學時的老師，只要求我們背會加法口訣，但不會講解證明過程。那時即使證明，也聽不懂??。

另外補充一點：「1+1=2」的證明，不是「1+1」的證明。後者「1+1」代表哥德巴赫猜想，是「任一大偶數2N（N>2），均可表為兩個素數之和」的縮略語。「1+1」目前尚無法證明。

既然要證明，就要嚴謹，那麼不帶單位1+1=2，不用證明了是公理。

帶上單位的話，就要定義好單位，例如個。一個蘋果無論大小我們計算的是個，1個+1個=2個，沒毛病。

腦筋急轉彎中有道題，一堆沙子加一堆沙子等於？既然嚴謹，沙子的大小是否一致？沙子的重量是否一致？堆怎麼定義呢？既然堆可大可小，那麼註定只能是腦筋急轉彎了，這就不需要證明了，因為不嚴謹。

可見單位一致性很重要，單位一致時，1單位+1單位=2單位，也可以這樣寫：一致的單位時不妨叫標準單位，1+1=2，所有數字默認帶標準單位。

每個科學體系都有基礎，這個基礎是這個理論體系最基本的知識元素，體系里所有的概念和定理都是從這個基礎演化出來的。而作為理論基礎的基本知識元素是不可證的，科學上稱之曰公理。之所以能夠被稱為公理，也是因為經過萬千實踐被證明正確。

這是人在認識過程中產生的抽象性思維，在人開始認識事物時，都是由具體感知開始，當人的認識積累到一定程度，發現了很多事物存在共性的東西，人一旦認識了共性的東西，學一點點就知道一大片。例如兒童學會數蘋果，1個蘋果，2個蘋果，3個蘋果等等，兩個蘋果分開放，就是兩個，1個蘋果。人為了簡單有效的學習，就將具體的拿掉，剩下抽象性的1＋1＝2。驗證正確與否，就要加入具體就可以了。因為具體的已經會使用了。