還沒發明計算機時，例如sin、π、根號389等之類的數是如何計算的？

（文/方弦）

當年沒有發明計算機的時候，計算是件苦差事。像三角函數、圓周率、根號這樣的東西，計算起來很不方便。

但不方便不代表沒有辦法，只是麻煩一點。用一點數學的話，這些都不是問題。

我們挑幾個例子來講講。先從簡單的開始。

根號算是最簡單的了。我國古代就有筆算開平方的方法，在比較老的數學課本上也有教授，其實就是利用完全平方公式來逐步逼近平方根。另一種方法是巴比倫人發明的方法，又叫海倫法。如果要對n開方的話，先估算一個大概的值x，然後計算(x+n/x)/2，這個值會比x更靠近n的平方根。用新的值代替x再次進行計算，這樣不停重複下去，就能越來越接近n的平方根。

當然，有時候我們需要計算開k次方根，甚至是任意實數的實數次方。這時候就要用到對數了。對數是1614年由納皮爾開始倡導的。如果精度不需要非常高，那麼利用對數尺或者事先編纂好的對數表和反對數表就可以了。比如說要計算a^b，我們知道a^b = 10^(b lg a)。那麼，只要先查表得出a的對數，乘以b，再用結果來查反對數表，就能得到答案。這些表編纂起來還是需要相當的計算量的，所以在沒有計算機的當年，編纂對數表和反對數表是繁瑣但重要的工作。如果需要高精度的話，那就要利用公式了。直接利用對數的泰勒公式不是不行，但是收斂比較慢，一般會利用ln(x)=2arctanh((z-1)/(z+1))這個關係，然後再對arctanh進行泰勒展開來計算。

三角函數的原理也相同，它的重要性在航海領域中甚至超過了對數。三角函數一般來說利用適當的泰勒展開，都是比較容易計算的，因為它們大體上類似指數函數，而指數函數的泰勒展開收斂得很快，所以計算起來也相對方便。反三角函數比較難以計算，因為它們大體上類似對數函數，而對數函數的泰勒展開收斂比較慢。以往也有專門編纂的三角函數和反三角函數表，可以供較低精度的使用。高精度的話，還是利用泰勒展開來計算。

至於圓周率，我們熟悉的有劉徽的割圓術，「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周，體而無所失矣」。這當然是光輝的歷史，割圓術創下了計算圓周率到小數點後第7位。但實際上割圓術的收斂速度不算特別快，跟筆算開平方的速度類似。真正開啟了計算圓周率大門的，還是上面所說的，收斂更快的三角函數和反三角函數。利用所謂的梅欽類公式，這類公式的代表是以下的梅欽公式：

pi/4 = 4arctan(1/5) - arctan(1/239)

用反三角函數來表達圓周率，我們可以更有效地進行計算，因為即使反三角函數的泰勒展開收斂得不算快，但在梅欽類公式的情況下，比很多方法都要快。這是因為在arctan(x)的泰勒展開中，每一項都有x^k，當x很小的時候，每一項會以指數形式很快變得非常小，而這正是梅欽類公式中的情況。利用這類公式，19世紀的威廉·香克斯花了十五年，計算了圓周率後的707位。雖然後來發現只有529位是正確的，但這也是了不起的成就。

回到現在，我們有了計算機。但計算機計算這些數學函數時，或多或少都沿用了類似的計算方法。計算機並不是魔法，它畢竟只是人類智慧的延伸。沒有計算機，人原則上也能做到同樣的事情，不過就是要花很多時間而已。

在計算機發明前或普及前，人們在計算和應用無理數和超越數時，一般都是通過查《數學用表》，來獲得較為準確的數據（精度一般可達10的負4次方）。《數學用表》有專門出版的，內容包括：根號、指數、對數、三角函數等等。另外在當年我們在計算精度要求不高時，還常用計算尺來計算各種函數乘積也很方便，只是精度不高且容易搞錯小數點位置，自出現計算器就很快被淘汰了。

人類計算圓周率開平方等等必定是先於計算機的。計算機只是運用固有的演算法在一定時間內快速運算。打個比方，是人類先學會一加一等於二，然後才錄入計算機，計算機只是遵循這一演算法，計算機本身不會計算。