數學裡的e為什麼叫做自然底數？

伯努利的問題與複利有關。假設你在銀行里存了一筆錢，銀行每年以100%的利率兌換這筆錢。一年後，就可以得到2倍的錢．現在假設銀行每六個月結算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在這種情況下，一年後的收益為（1+50%）^2=2.25倍。

而假設銀行每月提供8.3%（100%的1/12）複利息，或每周1.9%（100%的1/52）複利息。在這種情況下，一年後你會賺取投資的（1+1/12）^12 = 2.61倍和（1 1/52）^52 = 2.69倍。根據這個規律，可以得到一條通式。如果假設n為利息複利的次數，那麼利率就是其倒數1/n。一年後的收益公式為（1+1/n）^n。例如，如果利息每年複利5次，那收益則為初始投資的（1+1/5）^5 = 2.49倍。

那麼，如果n變得很大，會怎樣？如果n變得無限大，那（1+1/n）^n是否也會變得無限大？這就是伯努利試圖回答的問題，但直到50年後才由歐拉最終獲得結果。

原來，當n趨於無窮大時，（1+1/n）^n並非也變得無窮大，而是等於2.718281828459……這是一個類似於圓周率的無限不循環小數（即無理數），用字母e表示，被稱為自然常數。

　　這個問題我想也是大家思考的問題，e＝2.718281828459……是自然律一種量的表達．自然律的表達是＂螺線＂，

螺線一般有五種形式：１對數螺線２阿基米德螺線３連鎖螺線４雙曲螺線５迴旋螺線

阿基米德螺線

迴旋螺線

雙曲螺線

等角螺線或對數螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線，在極坐標系(r, θ)中，這個曲線可以寫為

看不懂忽略

對角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布．伯努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性，如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死後將之刻在自己的墓碑上，並附詞「縱使改變，依然故我」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去．

鸚鵡螺的貝殼像對數螺線

菊的種子排列成對數螺線

鷹以對數螺線的方式接近它們的獵物

昆蟲以對數螺線的方式接近光源

蜘蛛網的構造與對數螺線相似

旋渦星系的旋臂差不多是對數螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為 12°。

低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像對數螺線

　　　英國蓍名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到:旋渦形或螺線開形逐漸縮小到它們的中心,都是美的形狀。事實上,我們

也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什麼我們的感覺、我們的"精神的」眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣

—種螺線的形式中得到滿足呢?這難道不意味著我們的精神,我們的「內在」世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構

對應關係嗎?

我們知道,作為生命現象的基礎物質蛋白質,在生命物體內參與著生命過程的整個工作,它的功能所以這樣複雜高效和奧秘無窮,是同其結構緊密相關的。化學家們發現蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的,決定遺傳的物質—核酸結構也是螺旋狀的。古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器,當它的琴弦在風中振動時,能產生優美悅耳的音調。這種音調就是所謂的「渦流尾跡效應」。讓人深思的是,人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便于欣賞古希臘人的風鳴琴嗎?還有我們的指紋、發旋等等,這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應,也就是「內在」與「外在」和諧的自然

基礎．我想這就是為什麼稱之為自然常數的原因．

數學和物理學中的應用

又用上了這圖

自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有

個。在a較小時，結果不太正確。但是隨著a的增大，這個定理會越來越精確。這個定理叫素數定理，由高斯發現。

此外自然常數還有別的用處。比如解題。請把100分成若干份，使每份的乘積儘可能大。把這個題意分析一下，就是求兩

個數a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（說明，a可以為任意有理數，b必須為整數。）此時，便要用到自然常

數。這需要使a盡量接近e。則b應為100/e≈36.788份，但由於份數要為整數，所以取近似值37份。這樣，每份為100/37，所以a的b次方的最大值約為「94740617+167818+32.652」。

e是極為常用的超越數之一，它通常用作自然對數的底數。因為e=2.7182818284... ，極為接近循環小數2.71828(1828循

環)，那就把循環小數化為分數271801/99990，所以可以用271801/99990表示為e最接近的有理數約率，精確度高達

99.9999999(7個9)% 。

e對於自然數的特殊意義

所有大於2的2n形式的偶數存在以

為中心的共軛奇數組，每一組的和均為2n,而且至少存在一組是共軛素數

可以說

是素數的中心軸，

只是奇數的中心軸。

改變世界的二十個公式之一：歐拉公式

最偉大的公式

這個公式將我們最常見的常數０、1、i、e、π集合在一起，可以說是最完美的公式，最偉大的公式！

如果你有1元錢，如果每年的利息是1元，那麼，你到年底可以收回2元。

按照每月的收益率來說，你每個月的利息是1/12元，如果你要求每月支付利息，而且可以利滾利——像餘額寶那樣，那麼，你到年底可以拿到的錢是（1+1/12）的12次方。

如果你變得貪婪，要求每天支付利息，而且可以利滾利——像餘額寶那樣，那麼，你到年底可以拿到的錢是（1+1/365）的365次方。

最後的最後，你覺得還不夠，你要求每個瞬間都支付利息，而且可以利滾利，那麼，你可以拿到的錢是（1+1/n）的n次方，而且n趨向於無窮大。這個時候，你能拿到的錢是e，也就是歐拉自然常數，大約等於2.718……

所以，自然常數e顯然與最高級別的利滾利有關，在生活中，它的出現是非常自然的，也是很深邃的——因為貪婪是人性的基本面。

在大自然中，e也是到處存在，最重要的存在其實可以用數學中關於複數的運算來實現。

首先，你需要知道棣莫弗定理。

設存在兩個複數(用三角形式表示），分別是Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），

那麼，它們的乘積：

Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].

棣莫弗的這個發現後來被歐拉用e表示了出來，顯得更加優美：

歐拉把三角函數全部用e的指數表示了出來。

至於為什麼歐拉能做到這個，需要從微積分的泰勒展開的角度去理解，總之，這個公式被很多人認為是最優美的：當x等於圓周率的時候，結果是-1。

e是一個無限不循環的小數，它其實是一個超越數，不過它背後可能還有很多其他的秘密，等待我們去發掘。

自然常數e是一個約為2.71828的無限不循環小數，因為它是自然對數函數的底數，所以被叫做自然底數。

人們有時稱它為「歐拉數」，紀念瑞士數學家歐拉；有時也稱它「納皮爾常數」，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。

所謂常數，是指固定不變的數值。不同於公式中神秘未知的x、y、z，自然常數e是真真切切的穩定存在。它具體指的是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

e是所有數學常數中，和我們的生活最為貼近的一個，因為它和計算利息有關。

大多數人應該都知道複利計息，指的就是利息也可以並進本金再生利息。

但是本利和的多寡，要看計息周期而定，以一年來說，可以一年只計息一次，也可以每半年計息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；當然計息周期愈短，本利和就會愈高。

有人因此而好奇，如果計息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計息一次，甚至每秒，或者每一瞬間，會發生什麼狀況？本利和會無限制地加大嗎？

數學家很快便證實，答案是不會。它的值會穩定下來，趨近於一個極限值，而e這個數就現身在該極限值當中。

用現在的數學語言來說，e便可以定義成一個極限值。由此可知，並非人們發明e，而是人們發現e。

可是，一個普通的符號e，一堆數字的堆砌，為什麼被冠以「自然」的頭銜呢？是不是自然界中什麼東西恰好是e呢？

「自然性」是科學探索中一個永恆的主題，最早便是在古希臘。聰明的古希臘哲學家以科學的思維方式，在理論中用「自然」取代具體的神靈。

按照古希臘哲學家的「自然思想」，「自然」是指萬物的內在規律，就像自然數一樣，是事物本身的屬性，不以人的喜好而變化。

因此，對於最快速的指數增長來說，e才是自然的，這是指數增長本身的屬性。對於數學家來說，簡約即美。因此，他們用自認為最美的詞語「自然」來評價e。

e經過一定變換和複合的形式，表達出自然律的精髓，其形象表達便是螺線。

旋渦形或螺線形逐漸縮小到自身的中心，在數學家眼中，這一方面表現出了自然系統朝一片混亂方向不斷瓦解，另一方面顯現了序化促進自身發展的本質。

e正是以這種特殊的方式隱藏在自然界中。小到海螺殼、玫瑰花，大到颱風源、星系宇宙，e所展現的正是這種自然之美，既有著直線的剛勁與坦率，又有著曲線的優美與含蓄，但這並不是它被稱為自然底數的原因。

因此，把e冠以「自然」之名，是數學家們用自己的方式對它進行的美學評價。

雖然自然界中廣泛存在著e的不同形式，但這並不是e得名的原因。

許多回答都採用了e的極限定義，不直觀。我來給大家一個新角度：變化率，看自然底數e"自然"在哪裡。

首先人類對線性增長（increase) 關係最熟悉，線性變化的變化率是一個常數 y"(x) = c。但是遇到有點陌生的指數生長（grow）關係的變化率時，人類還是希望能用線性方式表達，於是就發明了對數。用對數表達生長變化時，我們得到直觀熟悉的線性關係。那麼問題來了，選什麼做底數呢？人類習慣用10的倍數表示數量級概念，於是以10為底對數在工程計算中很常見。但是有一種對數底反映了生長變化率的本質，與人類計數喜好無關。

我們知道，對數換底後只差一個常數 log a x = ln x / ln a，也就是說選擇不同的對數底數只是一個縮放定標，是人為的（非自然本性的）。對於自然界的某種生長變化，我們關心的是變化率。以任意數a為底的對數的變化率是 y"(x) = ln(a) /x 。如果把底數選做e（就當是換一個計量單位），那麼就得到變化率為 y"(x) = 1/x ，一個簡單的反比關係。我們稱e為自然底數，因為採用e為對數底數的生長變化率與我們採用的計量單位無關，是自然的變化率關係，所有的生長變化都是這個變化率關係。所以e是所有生長(grow)或者迭代(recursion)過程的標誌性常數，是生命的象徵。

除了數學世界所謂的「自然」，其實我們宇宙中真實存在的最自然數是精細結構常數，這是一個與人類計量單位和數學世界都無關的純粹數！

以e為底的指數函數在數學上有個特殊的性質是其他函數沒有的，就是e^x的任意階導函數都是他本身，而這個性質在解微分方程時太有用了！而物理規律很多情況下都不是用普通的方程描述，而且用微分方程描述，這樣數理方程的解就老會出現e

e為什麼叫自然底數，歷史上可能是這樣的。對於任意數a，那麼a^0=1。如果有一個接近於0的微小數值ε，即ε→0，則a^ε也是接近1的數值，把它表示成a^ε=1+δ，δ是另一個無窮小量。進一步把δ表示成，δ=kε，則a^ε=1+kε。a取不同數值時，k的取值也不同，例如a=10，k≈2.3026。如果把使k剛好是1的那個a值記為e，則e^ε=1+ε，以及ln(1+ε)=ε。可見如果以e為底，這些指數和對數關係就會變得更簡潔，更自然。所以e稱作自然底數。那麼e具體應該是多少呢？請看歐拉所做的計算。對於任意數n有a^(nε)=(1+kε)^n，將其作冪級數展開，即a^(nε)=(1+kε)^n=1+nkε+n(n-1)(kε)2/2!+n(n-1)(n-2)(kε)3/3!+...，如果取n是個很大的數，即n→∞，那麼n可以表示成n=z/ε，z是某一固定的比例係數。代入級數展開式則，a^z=1+kz+n(n-1)(kz)2/(n2·2!)+n(n-1)(n-2)(kz)3/(n3·3!)+...。由於n→∞，使得(n-1)/n→1，(n-2)/n→1...所以a^z=1+kz+(kz)2/2!+(kz)3/3!+...，令z=1，則a=1+k+k2/2!+k3/3!+...。令k=1的a值就是e，所以e=1+1+1/2!+1/3!+...≈2.71828...。歐拉真是具有非凡的數學處理能力，隨便一些雕蟲小技，我們現在看來都嘆為觀止。

e在數學上就是(1+1/x)^x在x趨向無窮時的數值。也是利滾利的最大值。但是它有很多妙處，比如將一個數n分成多少份才能使得這些數的乘積最大呢？答案是盡量分成n/e份。之所以稱為自然數，是因為大自然很多地方隱藏著這個數，花朵星系海螺颱風等。下圖中的曲線就是e^x在極坐標中的表現。當然了這個和斐波那契螺旋線很接近，也就是黃金曲線。另外還有一個與數學關係不大的用處，如果你預計求愛者有 n 個人，你應該先拒絕掉前 n/e 個人，靜候下一個比這些人都好的人。假設你一共會遇到大概 30 個求愛者，就應該拒絕掉前 30/e ≈ 30/2.718 ≈ 11 個求愛者，然後從第 12 個求愛者開始，一旦發現比前面 11 個求愛者都好的人，就果斷接受他。由於 1/e 大約等於 37%，因此這條愛情大法也叫做 37% 法則。

有本書叫做一個常數的傳奇e，可以去看看，裡面講的很清楚。很多數學上的東西出現都是很奇特的，有的是天才的發現，有的是常年的總結。