假設有兩個木桶，A桶16升，B桶25升，如何量出1升的水？

不定方程，求最小正整數解。

1.設x桶25L水比y桶16L水多1L，則有

25x－16y＝1，或25x＝16y＋1

因為25x的個位數字只能是0或5，所以16y的個位數字只能是4或9，因為16是偶數，所以，16y的個位數字只能是4，y的個位數字只能是4或9，這就不難得到y＝14，代入原式解得x＝9。

好了，不停地用25L的桶裝滿水倒入16L的桶中，倒滿就倒掉，如此重複，記住當25L的桶裝到第9桶時，最後就能剩1L水。

2.設x桶16L水比y桶25水多1L，則有

16x－25y＝1，或25y＝16x－1

因為25y的各位數字只能是0或5，所以16y的個位數字只能是1或6，因為16是偶數，所以，16y的個位數字只能是6，x的個位數字只能是1或6，則不難得到x＝11，代入原式解得y＝7。

與上面一樣，不停地用16L的桶裝滿水倒入25L的桶中，倒滿就倒掉，如此重複，直到16L的桶裝到第11桶時，最後剩下的就是1L。

這個問題可以用數學表達為求16x-25y=1或者25y-16x=1的問題。其實也就是整係數多元一次不定方程ax-by=c的求整數解問題。

我國很早就有相關的論述，名字就是「大衍求一術」。數學家秦九韶的秦左表可以很方便的解出該問題，民間也有相關的有趣傳聞，其中一個特例名字就是韓信點兵。該問題的解答方案「三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子相逢整半月，除百餘五便得知」更是膾炙人口。

而西方直到數學天才高斯出現才有相關的討論，並且該討論較之秦九韶的方法尚有不足。不知不覺中又增強了我們的民族自豪感哈。

該類問題的有解的充分必要條件是常數項是係數項最大公約數的倍數。25與16的最大公約數是1，所以該問題有解。

對於一般的ax-by=c的求解方案為：首先求出ma除以b餘1的整數解，設置商為n則解的通項為m+kA／a，n+kA／b，k為任意整數，A為a和b的最小公倍數。

補充一個圖片，用於數學愛好者探討研究，該圖片描述的是歐拉關於該題的解答，也就是上文提到的高斯整理的。

根據秦左表或者上文圖片的方案可以得到本題的一個特解為11，7。即使用11次小桶和7次大桶即可。解決方案為，連續使用小桶從存水處取水向大桶裝，大桶裝滿後即倒回存水處，反覆裝11次，此時大桶倒掉7次，還剩下1升水。

首先，答案是肯定的，能量出1升水！

第一種情況：

A桶連取2桶水倒B桶，32-25=7,A桶剩7升水；

將7升水倒B桶，A滿2桶水倒B桶，32-18=14,A桶剩14升水；

將14移至B，A滿1桶倒B，A剩5

將5移至B，A滿2桶倒B，A剩12

將12移至B，A滿1桶倒B，A剩3

將3移至B，A滿2桶倒B，A剩10

將10移至B，A滿1桶倒B，A剩1

第二種情況：

B桶滿桶水倒A桶，25-16=9,B桶剩9升水；

將9升水移至A桶，B滿桶水倒A桶2次，25-7-16=2,B桶剩2升水；

將2移至A，B滿桶倒A，B剩11

將11移至A，B滿桶倒A2次，B剩4

將4移至A，B滿桶倒A，B剩13

將13移至A，B滿桶倒A2次，B剩6

將6移至A，B滿桶倒A，B剩15

將15移至A，B滿桶倒A2次，B剩8

將8移至A，B滿桶倒A2次，B剩1

這樣看著好複雜??????，簡單粗暴些：

第一種情況簡化為：

A桶向B桶倒，設需要接滿x桶水，B桶需要倒掉y次，則16x-25y=1，解方程得x=11,y=7。也就是說，A桶接滿水倒B桶，B桶裝滿就倒掉。這樣A桶接滿11次，B桶裝滿7次時，A桶剩有1升水

同理，第二種情況簡化為：

B桶向A桶倒，設需要接滿x桶水，B桶需要倒掉y次，則25x-16y=1，解方程得x=9,y=14。也就是說，B桶接滿水倒A桶，A桶裝滿就倒掉。這樣B桶接滿9次，A桶裝滿14次時，B桶剩有1升水。

由上面分析可以看出，利用這兩隻桶，我們可以得到1,2,3……任意升的水???

個人覺得這是一個很有意思的問題，可能很多人看到過類似的，值得去思考一下。實際上，之前我在奇蹟號網站上就具體討論過此類問題，有興趣的可以點擊：http://www.qijihao.com/a=291

問題的答案是：可以。這裡，我仔細地說明一下量出一升水的操作步驟。

為了敘述的簡明性，我們先看能不能量出5升的水呢？

過程如下：

1. 用兩桶A倒進B桶，A桶剩7升，再倒入B桶。

2. 繼續用兩桶A倒入B桶，這時A桶還剩14升，還是倒入B桶。
3. 接著用一桶A倒入B桶，這時A桶剩5升。

有了上述的預熱，是不是可以去想想1升水咋得到。可能不太好想。。。。

是這樣的，繼續量5升的過程：

4. 將A桶里的5升水倒入B，再用兩桶A的水倒入B，此時A桶剩12；

5. 將A的12升水倒入B，再用一桶A倒入B，此時A剩3；

6. 繼續將A的3升水倒入B，再將兩桶A倒入B，此時A剩10；

7. 將A的10升水倒入B，用一桶A倒入B，A剩1升水。

可以看出，量取水的過程就是一直用A桶的水去填充B，得到能剩下的水量。整個操作所得到的數量依次為：

7>23>14>5>21>12>3>19>10>1>17>8>24>15>6>22>13>14

到14就重複了，過程結束。

同理，我們也可用B桶去填充A桶所剩下水量：

9>18>2>11>20>4>13>22>6>15>24>8>17>1>10>19>3>12>21>5>14>23>7>16

可見，算上B桶的25升，1到25的每一個數字對應的水量都可以量出來。

那麼誇張一下，如果給你一個1256升和782升的木桶，問你都能量出幾升的水？這時候，再按照原問題的過程去一步步推，那恐怕有些累。我們需要在理論上直接回答，可以將問題一般化：

註：A≠B均為正整數

不難看出，量出的水量只能是如下形式：0<aA+bB<max{A,B}, a,b為整數.

那麼可以根據最大公約數的性質推斷出：

能得到的最小水量為 A和B的最大公約數。

所能得到的水量只能是最小水量即最大公約數的正整數倍。

這也就是說，如果B>A, A和B的最大公約數記為V,且 B=q×V，則可以量出的水量有q個：V, 2V, 3V, ..., (q-1)V, B.

詳細地論證可以參看我在奇蹟號上的文章，這裡不再贅述。

有兩個辦法可以達成，其實就是以16升的桶做倒水桶，還是25升的桶做倒水桶的問題

因為他倆相差是單數，所以一定能得到1升

16乘以x桶-1=25乘以y桶

或者 16乘以x桶 +1=25乘以y桶的問題

以用16升桶為倒水桶舉例，另外一種方法自己去算哈

1）先把16升的桶裝滿水，然後往25升桶種倒水，25升水滿後，就倒掉，16升桶倒完後，再注滿水，往25升桶里倒

2）16升桶第2次倒完，25升桶裡邊剩7升水， 16x2-25=7

3）第4次倒完，25升桶裡邊剩14升水，16x4-25x2=14

4)第6次倒完，25升桶裡邊剩21升水，16x6-25x3=21

5)第7次倒完，25升桶里剩12升水，16x7-25x4=12

6)第8次倒完，25升桶里剩3升水，16x8-25x5=3

7)第10次倒完，25升桶里剩10升水，16x10-25x6=10

8)第11次倒完，25升桶里剩下, 16x11-25x7=1

通過11次，得到1升水，同樣以25升桶為注水桶，也可以的到1升，只是經過的次數不同，就是按照上邊的兩個公式去得出X和Y的值

大家可以自己算和體會一下，當然提醒一下注意珍惜用水，據說下個月南非第二大城市開普墩要鬧水危機了，沒水喝了。水資源太寶貴了。

步驟列式如下

16?2-25=7

16?2-(25-7)=14

16-(25-14)=5

16?2-(25-5)=12

16-(25-12)=3

16?2-(25-3)=10

16-(25-10)=1

至此，量出了1升的水。

從上面可以看出，能量出來的有 1、3、5、7、10、12、14、16、25。那麼還有其他結果嗎？有，以上得到的數字分別加16，得數＜25 的都是。分別是 17、19、21、23。至此結束了嗎，還沒有。

25-16=9

25-(16-9)=18

16?2-(25-1)=8

頭大了，不算了

老師:這不是袁華同學嗎？怎麼哭了？

袁華:老師，太難啦，這道題我不會做！我不會做！！！

你好我是「農家小馮」我來回答：

從A桶倒B桶倒水十一次，A桶剩1升水，

從A桶倒B桶，把B桶裝滿7次，A桶剩1升水。

我們可以用公倍數來算，A桶的公倍數要比B桶的公倍數大1，A桶倒水11次等176升，B桶裝滿7次等175升水，176-175=1升水。公式16y-25x=1

我們分解一下：A桶十六升，兩倍是32升比B桶多7升，三桶多13升，4A桶比2B桶多14升，5A桶比3B桶多5升，6A桶比3B桶多21升，7A桶比4B桶多12升，8A桶比5桶多3升，9A桶比5B桶多19升，10A桶比6B桶多10升，11A桶比7B桶多1升。。。。。。看懂得點個讚唄

根據他問的題我也想到一題：

一筐蘋果，兩個兩個拿剩一個，三個三個拿剩一個，四個四個拿剩一個，五個五個拿剩一個，六個六個拿剩一個，七個七個拿剛好拿完，你們知道這框蘋果最少多少個蘋果嗎？

請在下方留言哦

兩種方法。

一、用16L的小木桶裝水注到25L的大木桶，通過7步操作，16升木桶餘下1L。

第一步：16+16-25=7，小桶餘7L水注入到空的大桶。

第二步：7+16+16-25=14

第三步：14+16-25=5

第四步：5+16+16-25=12

第五步：12+16-25=3

第六步：3+16+16-25=10

第七步：10+16-25=1，小桶剩1L水。

二、用25L的大桶注水到16L的小桶，通過9步操作，大桶餘下的水為1L。

第一步，25-16=9，將9L倒到空的16L小桶，差7L滿，記為9(7)

二，25-7-16=2，2(14)

三，25-14=11，11(5)

四，25-5-16=4，4(12)

五，25-12=13，13(3)

六，25-3-16=6，6(10)

七，25-10=15，15(1)

八，25-1-16=8，8(8)

九，25-8-16=1，大桶剩下1L水。

已知：A＝16，B＝25，

按如下步驟操作

1.2A注入B餘7升，倒空B，將A內7升入B，

2.2A注入B餘14升，倒空B，將A內14升入B，

3.A注入B餘5升，倒空B，將A內5升入B，

4.2A注入B餘12升，倒空B，將A內12升入B，

5.A注入B餘3升，倒空B，將A內3升入B，

6.2A注入B餘10升，倒空B，將A內10升入B，

7.A注入B餘1升。