Sin n，n為正整數，有最大值嗎？

這個最大值是找不到的，為什麼？原因是因為sin這個函數的周期性與圓周率有關，而圓周率是一個無理數，但n是一個正整數，所以隨著n的變化，n無法整除圓周率，這個導致的結果就是sin n這個函數只能無限逼近於最大值1，但永遠取不到1。所以，我們說這個sin n是沒有最大值的。

這個是可以證明的，你可以假設存在這個最大值，然後去找出矛盾之處，所以最後的結果就是這個最大值不存在。具體你可以去看看一些嚴格的數學分析的書，我是讀物理出身，對這個問題只能用強烈的直覺來告訴你答案是最大值不存在，而且這個是可以用純數學證明的，具體怎麼做應該也不會太難，總之就是數學分析。

所有的正整數給出的sin（n）值都是不一樣的，這一點也是很有意思的，所以我們其實有無窮多個數值去比較，從直覺上來說，這些數中好像存在一個最大值，但問題的關鍵在於我們無法找出具體這個最大值是多少，直覺告訴我們這個最大值肯定是無限逼近於1，但不是1。這就好像雙曲線靠近漸近線一樣，雙曲線可以無限靠近直線，但不能越過直線，在這裡也是這種感覺。當然，問題的關鍵還是出在圓周率是一個無理數，所以以它為周期的函數，如果自變數是正整數的時候，永遠都除不幹凈。

以我的能力，我也大概只能說到這裡了，答案是肯定找不到這個最大值。不過這個問題還是很有趣的，也許數學家能更準確地回答你提出的這個問題。

Sin n(n為正整數)沒有最大值，其證明是這樣的，對任意的正整數n，一定存在正整數k，滿足k<n/(2π)<k+5/4，比如可以取k=n/(2π)的整數部分，把上面那個不等式，都乘於2π，再取正弦，就可得：Sin 2kπ<Sin n<Sin(2(k+1)π+π/2)，即0<Sin n<1，我們知道正弦的最大值等於1，上面的證明說明無論n取什麼值，Sin n 永遠小於1，注意當n趨於無窮大時，Sin n並不是趨向於1，而是沒有極限，在大於-1和小於1之間徘徊，是發散的。不失一般性，我們事先假設Sin n>0，小於0那部分n，可以不討論，因為它都是小於1的。

我們用反證法來證明cosN沒有最大值。為了描述簡便我會棄用一些標準的數學術語，盡量保證嚴謹且易懂。

首先我們知道，對於函數cosx，當x等於0派，2派，4派……的時候，函數取最高值1。這裡我們把X軸上0派、2派這樣的點稱為「至高點」。因為cosx在至高點兩側是對稱下降的，所以我們有結論一【x距離至高點越近，cosx越大】

下面我們假定，對於自然數N，cosN是最大值。這個N距離至高點很近，距離為一個非常小的數u（N可以在至高點左邊，也可以在右邊，我們只討論在右邊的情況。在左邊的情況可以類似證明）

現在考慮整數2N，2N的落點會在某一個至高點的右側，且距離那個至高點距離為2u。同理，3N、4N……分別在其最近的至高點右側距離為3u、4u……的地方。

那麼，函數周期2派能不能被u整除呢？事實是不能，不過今天我們不用去證明這一點。我們令2派除以u的餘數為w，即2派=Ku+w（K為某個自然數，w是餘數，為不為零沒關係，但肯定w<u）

現在我們來看整數KN。它的落點在某個至高點的右側Ku處，而在落點右側w處，是下一個至高點。

重點來了，整數KN離至高點的距離（w）小於整數N離至高點的距離（u），根據前文結論一，cosKN大於cosN，這推翻了【cosN是最大值】這個假設。得證：N是不存在的。

【N在至高點的左側】和【sinx】同理可證，只是敘述上更麻煩一點，此處不再贅述。

個人認為有最大值，就是1。大學畢業十幾年了，基本都還給老師了，所以不知道思路還對不對了，我記得這種題應該這麼證明：要證明一個函數的最大值，只要能證明這個函數對於任意一個無窮小的數，總能找到一個變數比這個無窮小的數更小即可。就像0.9無限循環就等於1。

sin[(2k+0.5)π]當k∈Z時有最大值，可以證明如果取整數，上式最大值會無限接近於1，因為π是超越數，所以無論如何取值都無法等於1。

通過簡單計算可以找到一些整數，比如sin33，sin322，sin366，如果可以取負數還有sin(-11)，他們的大小關係為sin(-11)>sin366>sin322>sin33≈1。

和計算π值或尋找更大的質數一樣，這個問題的意義在於，我們可以通過編程來讓計算機找到更接近1的整數，我們也可以用Excel來找，大家可以找找最接近1的sin n，看看誰找的數值更大，我先來一個sin4959。

答案應該是沒有最大值，但有上確界1

首先sin n在（-1，1）中間緻密分布（也就是在-1到1中間任意取一個值y，其領域內必有解。這個可以證明的），但無法取到1，因為取到1的條件是（2k+1/2）pi = n。pi為無理數，k和n為有理數，所以所以等式不成立。

首先，這個區間必須是正增區間，所以，只能在2kπ到2kπ＋1÷2π之間k從0開始，這是無數個區間，每一個區間里都有一個最接近sin n等於1的數n，即每一個k值對應一個最大的n值，可以在軟體上觀察到，隨著區間增大，這個sin，n的數值會不會越來越逼近1，或者能看出來這麼個趨勢，如果有一段先越來越逼近，另外一段是越來越遠離，那麼就說明存在一個最大的n值，使得sin n取得最大值，具體的算，我沒有去算，這只是我提供一種看是否有最大的n分方式

振蕩無極限

這裡的pai是指180度吧，pai有兩個含義，一個是周長與直徑之比，一個是弧度單位，在弧度單位里1pai等於180度。若問sin(n)的最大值，最大值為一，若問n的最大值，n為90+180k(k趨向於正無窮)