為什麼不少物理量與π有關？

我認為公式中出現π是空間各項同性的一種體現。

仔細想一下圓周率π，它的幾何意義不僅僅是圓的周長和直徑的比值，還有一個很重要的幾何意義就是在弧度制中的π代表了角度制中的180°，也就是說2π剛好代表了一周。那麼如果我們想表達一個物理量旋轉360°之後保持不變，最直接的表達就是引入π。

所以我們如果研究一個物理量，得到其局部的微分表達式之後，擴展到全空間。在球坐標系中就要對其做角度的積分，這樣出來π也就不足為奇了。

上面說的磁學裡的π是一個例子，儘管沒有經過仔細的推導，但是應該是和一些環路積分有關。還有一個很典型的例子就是在研究能帶結構時，最初引入布里淵區的概念。我們需要用到周期性邊界條件。而一維周期性邊界條件就是旋轉360度之後一些物理量保持不變，所以在固體物理中我們也會經常見到π。

不僅僅是圓周率π，我們可以看看那個最美麗的公式——歐拉公式。

圖1. 歐拉公式

當圖中的角度為π時，便得到e^(iπ)+1 = 0。這個公式中包含了自然界中五個最基本的常數：0，1，i，e，π。物理公式中除了π，虛數i和自然對數的底e也是經常出現的。比如在量子力學中，薛定諤的波動方程中就出現了i。

圖2. 薛定諤方程

在物理公式的推導中，我們也會經常遇到自然對數的底e，最常見的就是研究衰減時出現的e，這種衰減可以是電學的衰減，也可以上力學的衰減等等。

圖3. 彈簧振子振幅的逐漸衰減

關於這些常數的討論是很多的，有時候我們不得不驚嘆自然界的美，一些完全沒有關聯的現象就通過這些簡單的常數聯繫在了一起。甚至有一些專門的書去發掘這些基本常數的美。還有一個經典的常數就是黃金分割的比例。如果有興趣可以去找一些書來看，還是很有意思的。

因為圓周率是一個和周期有關的常數，而很多物理現象和物理運動都具有周期性，所以就有π的出現。說白了，π是宇宙萬物運動的一個基本常數，也反映出宇宙的一種基本屬性，那就是具有周期性。