為什麼圓周率是一個無限不循環的小數？

我們學的幾何是歐氏幾何，歐氏幾何很簡單，也有弊端。用非歐幾何很容易理解為什麼圓的周長是有限的，圓周率是無限的。測量的工具細分的程度，決定了圓周長的不固定性，所以圓周長是測不準的，從而導致圓周率是測不準的。或許我的表述有問題，但是可以這樣理解。在現實中也會遇到過這樣的問題，比如一個公司曾經買了幾千畝土地，需要測量具體的面積，又沒有測量儀，只能用普通的捲尺測量，結果測了五次得出的結果每次都不一樣，而且差距太大，幾乎是十幾畝土地誤差，十幾畝地這可是幾十萬塊錢呢。為什麼會出現這樣的情況呢？現實中的土地不會很規則，結果你測的時候分割的細化程度決定了面積大小，後來找了儀器儀錶測量，發現不同的人測量誤差依然存在！幾千畝地一定也不在同一水平面，如果考慮山川、河流、堤壩、地勢，甚至地球弧度，那麼用歐氏幾何就沒有法去測量計算了。有人說用微積分，可是別人買個地，你有必要用到這個數學嗎？說出來不好笑嗎？可是如果較真起來，還真有必要使用高中大學階段的微積分呢。這樣是不是可以理解圓周長是測不準的，站在非歐幾何的角度線段也是無限的。比如你把線段細分成點來測量，線段有多少個點，很顯然無數個點，那就無法測量啦。

關於圓周率是一個無限不循環小數（無理數）的證明很早之前就有了，並且還有很多種，詳情可以參考https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational，需要具備一定的微積分基礎。個人感覺Niven』s proof比較容易看懂。