圓周率是怎麼計算的？

圓周率雖然我們從小學就開始用了，但你真的知道它怎麼來的嗎？你真的理解圓周率了嗎？這可真的不簡單。

先看定義：圓周率（Pi）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。π也等於圓形之面積與半徑平方之比，也是單位圓的周長的一半。分析數學中，它是必須滿足sinX=0的某個最小正實數。

那麼，這個定義是怎麼得到的呢？為什麼π一定就是周長與直徑的 比值呢？周長就一定正比於直徑嗎？最嚴密最令人信服的做法是現代數學中的微積分思想。

我們都知道，

在平面直角坐標下圓的方程是：（r是圓半徑，直徑則為2r）

則

= 2π * r，即π=C/2r

至此，終於得到π的定義，即周長與直徑的比值。註：古代人並沒有從邏輯上證明圓的周長確實正比於直徑，更進一步說他們甚至對周長的概念也僅是直觀上的、非理性的。π的定義也可以從極限、圓面積方面去考慮證明。

那麼，了解了π的定義之後，那麼π究竟怎麼算更準確呢？

演算法1：割圓術（用圓內接正多邊形和圓外切正多邊形無限逼近）

圓內接（或外切）正多邊形的周長是可以精確計算的，而隨著正多邊形邊數的增加，會越來越接近圓，那麼多邊形的周長也會越來越接近圓周長。

當時偉大的古希臘科學家阿基米德就已經運用此法（內外接已達正96邊形！）將π計算並精確到了3.141851。當然，後來我國古代傑出的數學家劉徽和張衡利用類似方法計算出更精準的π為3.1415926和過剩近似值3.1415927之間，由此更是享譽世界。

演算法2：分析方法

主要工具是收斂的無窮乘積和無窮數級：

演算法3：概率法

演算法4：數值積分法

演算法5：代數迭代

………

以上是人工計算的方法之五，還有很多就不列舉了。另外，現代科技多用計算機技術程式運算：

……等等

2002年，Yasumasa Kanada應用計算機已經計算到小數點後1.24萬億位。

參考資料：百度百科、知乎、高等數學F-積分的簡單應用

歐幾里德的《幾何原本》里有公理：過一點以某個半徑可以做一個圓。根據相似形可知任何一個圓的周長與直徑的比都是一個常數，把這個常數稱為圓周率π。這個常數是一個無限不循環小數，即無理數。

從古希臘時代開始，由於科學研究和工程技術的需要，圓周率的計算就一直沒有停止過。直到今天，圓周率依然是檢驗計算機計算能力的方法之一。日本某個無聊的出版社居然出了一本一百萬位的圓周率的書《円周率1000000桁表》，全書只有一個數字：π

如果使用一根軟繩測量圓的周長，再除以圓的直徑，只能得到圓周率大約等於3的結果，更加精確的結果只能依賴計算。現代圓周率計算的方法很多，本文只介紹歷史上最早計算圓周率的三個人物：阿基米德、劉徽和祖沖之。

阿基米德是最早得出圓周率大約等於3.14的人。傳說在他臨死時被羅馬士兵逼到一個海灘，還在海灘上計算圓周率，並且對士兵說：「你先不要殺我，我不能給後世留下一個不完善的幾何問題。」

阿基米德計算圓周率的方法是雙側逼近：使用圓的內接正多邊形和外切正多邊形的周長來近似圓的周長。正多邊形的邊數越多，多邊形周長就越接近圓的邊長。

阿基米德最終計算到正96邊形，並得出π約等於3.14的結果。阿基米德死後，古希臘遭到羅馬士兵摧殘，敘拉古國滅亡，古希臘文明衰落，西方圓周率的計算從此沉寂了一千多年。

阿基米德死後五百年，中國處於魏晉時期，著名數學家劉徽將圓周率推演到小數點之後四位。他在著作《九章算術注》中詳細闡述了自己的計算方法。

劉徽的演算法與阿基米德基本相同，但是劉徽提出了正N邊形邊長Ln與正2N邊形邊長的遞推公式。

設圓的內接正N邊形的變長為Ln，如圖中AB所示。

將正N邊形變為正2N邊形，邊長如圖中BD所示。

由此可以得到遞推式：

又因為正六邊形L6=1，可以得到L12，L24，L48...

劉徽最終計算到了3072邊形，得到圓周率的值

又過了兩百年，中國數學家祖沖之橫空出世。

祖沖之使用「綴術」將圓周率的值計算到小數點後第七位，指出：

這個結果直到一千多年後才被西方超越。但遺憾的是，「綴術」到底是什麼方法，已經失傳，至今仍是千古疑案。

華羅庚等科學家認為：祖沖之的方法仍然是割圓法，但是如果要得到這個精度，需要分割到24576邊形，從正六邊形出發，還需要迭代劉徽的公式12次，而且在每次迭代的過程中，必須保證足夠多的有效數字，否則就會影響到最後的結果。祖沖之通過什麼神奇的方法保證了計算的準確？至今仍是一個謎。

另外，小時候看了一個故事， 很久以前，有位教書先生，整日里不務正業，就喜歡到山上找廟裡的和尚喝酒。他每次臨行前留給學生的作業都一樣：背誦圓周率。開始的時候，每個學生都苦不堪言。後來，有一位聰明的學生靈機一動，想出妙法，把圓周率的內容與眼前的情景（老師上山喝酒）聯繫起來，編了一段順口溜： 　　

山巔一寺一壺酒（3.14159）爾樂苦煞吾（26535）把酒吃（897）酒殺爾（932）殺不死（384）樂爾樂（626）

答：圓周率的計算過程，經歷了實驗演算法、幾何演算法、分析演算法和計算機演算法的過程；其中，新工具的出現，對計算圓周率起了重要作用。

在古時候，人們對圓周率的精度要求還不高。比如公元前1世紀左右，我國最古老的數學著作《周髀算經》，就記載著「徑一周三」，也就是把圓周率近似看作「3」。

在古巴比倫時期（公元前1900年~公元前1600年），古巴比倫人就記載了圓周率=25/8=3.125。

古人只需要畫一個圓，然後分別測量其周長和直徑，就可以得到圓周率；雖然和圓周率的真實數值相差很大，但是對那時候的生產活動來說足夠用了。

但該方法對圓周率的計算精度非常有限，只能精確到圓周率的小數點後第一位，要想精確到第二位都很困難。

幾何演算法避免了測量的誤差，比如阿基米德（公元前287~212），計算圓的內切正多邊形和外接正多邊形，然後取其平均值，把圓周率計算到3.141851。

而我國的古代數學家祖沖之（429~500），利用割圓術，計算到正24576邊形，把圓周率精確到小數點後第七位（3.1415926~3.1415927），這一記錄保持了800多年才被歐洲人打破。

15世紀，阿拉伯數學家卡西，把圓周率精確到17位小數。

1596年，德國數學家魯道夫·范·科伊倫，把圓周率精確到20位小數。

1610年，魯道夫·范·科伊倫耗盡畢生精力，用了10多年的時間，再次把圓周率精確到了35位，這也算是手工幾何演算法的極限了。

進入18世紀後，數學家有了三角函數、連分數、無窮級數、微積分和虛數等工具，大量圓周率的計算公式湧現出來，大大提高了數學家計算圓周率的效率。

比如著名的梅欽公式：

由英國數學家梅欽，於1706年提出，該級數的收斂速度非常快，至今也是計算機計算圓周率的主要公式之一。

數學家Jurij Vega，在1789年，利用梅欽公式把圓周率精確到140位小數（後來得知前137位才是正確的）。

人工計算的記錄，是在1948年，美國兩位數學家利用一個全新的圓周率公式，手工計算到了808位小數。

比如我們利用虛數i的性質，可以輕鬆構造出許多圓周率的級數：

還有印度數學奇才拉馬努金，僅憑冥想就能意會出許多圓周率級數，而且級數的收斂速度非常快，比如下面兩個公式就是拉馬努金提出來的：

其中第二個公式，只要輸入第一項，就可以把圓周率精確到十進位的第八位：

分析演算法的出現，讓人們計算圓周率不在成問題，哪怕是手工計算，都可以輕鬆計算到小數點後數十位；而我們只需要精確到小數點後34位，然後用來計算宇宙周長，就可以精確一個原子的誤差。

進入計算機時代，更高精度的圓周率實用意義已經不大，計算機學家更多地利用計算圓周率的程序，來檢驗計算機的能力。

在1995年，三位演算法學家Bailey、Borwein和Plouffe在研究計算機演算法時，意外地發現了一個神奇的圓周率公式——BBP公式。

利用該公式，可以獨立計算十六進位圓周率的任意位數的數字。

BBP公式的證明過程如下：

也就是說：利用BBP公式，我們可以直接計算十六進位圓周率的第10億位數字，而不需要知道10億位前的任何一位；雖然只限於十六進位圓周率，但不得不說這真是一個神奇的公式。

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以前劉徽和祖沖之用割圓術，即化曲為直取極限的方法。劉徽曾生動地論述了這種思想：「割之彌細，所失彌少，割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。」祖沖之將這種方法發揮到了「登峰造極」的程度，他算出π ≈ 355 / 113 =3.1415929…

現代計算圓周率已經有了突飛猛進的進展。採用級數，反三角函數結合計算機編程等方法，圓周率已計算到小數點後上萬億位。

更新內容了！

2010年1月7日——法國工程師法布里斯·貝拉將圓周率算到小數點後27000億位。2010年8月30日——日本計算機奇才近藤茂利用家用計算機和雲計算相結合，計算出圓周率到小數點後5萬億位。

2011年10月16日，日本長野縣飯田市公司職員近藤茂利用家中電腦將圓周率計算到小數點後10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創下的5萬億位吉尼斯世界紀錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計算機，從10月起開始計算，花費約一年時間刷新了紀錄。

計算圓周率π有關的神奇公式：

1 這是韋達（Francois Viete,1540~1603）給出的史上第一個關於π的公式

注意到它的無窮的根式結構以及整個公式只用到了數字2！！！

2 沃利斯（John Wallis，1616~1703）π方程

毫無疑問這個公式非常漂亮，因為這是一個無窮乘積，形式上很簡潔。沃利斯通過計算兩個積分（這兩個積分是正弦函數的2n+1次冪與2n-1次冪，從0積到π/2）得到兩個關於n的分式，再用兩邊夾方法得到了這個公式。

沃利斯乘積：

數學家沃利斯在1655年發現的：

Wallis公式是關於圓周率的無窮乘積的公式，它是在1655年發現的。公式內容如下：

Wallis公式

其中

，

開方後還可以寫成：

3 這個公式是拉馬努金髮現的

整個公式充滿了拉馬努金的風格，他發揮自己在無窮級數與無窮連分式方面深刻的洞察力將兩大數學常數完美地融合在了一起。

數學家拉馬努金髮現的計算圓周率公式：

4 斯特林（String）公式的變形

斯特林公式（Stirling"s approximation）是一條用來取n的階乘的近似值的數學公式。

或更精確的

或

其實這個公式是斯特林公式變形，但好處在於，有極限，有指數，有階乘，有e，有π。信息量相當大。

5 貌似是一個當官的導出來的

貌似是外國一個伯爵看到了沃利斯公式，就將其化成了無窮連分式。雖是變形，可美感更深一層了。可以清晰地看到圓周率和奇數，平方數之間神秘的關係。

6 歐拉（Euler）發現的公式

歐拉是個巧匠，他運用各種巧妙而又簡單的方法發現了大量美麗的公式和定理，以上便是一例。在這裡，圓周率跟質數聯繫到了一起（注意，貌似應該是負一的n次方。）

7 高精度計算π的公式

高精度不是吹的，這個簡單而又優美的公式居然不是π的精確公式，卻可以將π精確到小數點後420億位！！！純造化~~~

8 數學家萊布尼茨發現的計算圓周率公式：

9 高斯積分：

10 統計學中正態分布的概率密度函數：

物理學中的海森堡不確定性原理：

物理學中的愛因斯坦相對論的場方程：

梅欽類公式：

其中arctan x可由泰勒級數算出。

網摘

求π的方法已經有很多，今天介紹幾款奇特的方法。

對於π值的追求，一直伴隨著人類，可以說，對π的計算方法，一個角度就反映了人類數學的發展程度。古代，沒有任何工具，也沒有先進的數學工具，唯一的就是靠筆算，於是祖沖之有了他的領先結果，

近代，微積分等學科的發展給π的求解帶來了新的視角，到了現代，計算機的發展也伴隨著對π值求法的翻天覆地的革命。 在這些追求的過程中，誕生了一批千奇百怪的求π法。

比如蒲豐投針實驗 等等。下面有兩種實驗性的方法，也頗讓人讚嘆不已！

第一種：任意寫兩個正整數，這兩個數互質的概率為6/π2。所以你因此可 以做一個實驗，叫班上的每一個人任意寫出兩個不相同的數，然後數這些數互質的個數，你就可以得到π的近似值。

第二種：任意寫兩個小於1的數（x，y），將他和1組成一個數對（x，y， 1），則由x、y和1能構成一個鈍角三角形的概率為(π-2)/4。 利用這個結論也可以求出π的近似值。

1995年4月，英國《自然》雜誌刊登了伯明翰城阿斯頓大學計算機科學與應用數學系的馬修斯發表的一篇文章，他記述了他如何通過觀察天空中亮星的分布計算圓周率，讀來的確使人驚訝，但是原理卻是如此滴簡單。

馬修斯做的，就是從我們熟悉的事物中探求數學中有趣的道理。馬修斯如此試驗基於的事實很簡單，每一個接觸過數論的人都知道： 任意兩個自然數互質的概率為6/（π2）。 他從眾多星星中選擇100個亮星，將這些亮星兩個兩個分成一對，然後計算每對星之間的角距，得出一堆數據，然後檢查這些數據的因子情況（總共近100萬對因子），從中計算出π值約為3.1272，與π的數值3.1416的相對誤差很小。 看來，馬修斯的工作就是從星星中獲得一堆隨機數而已，然後藉助數學定理計算圓周率。

受此啟發，你也完全可以藉助生活中熟悉的事物去獲得一堆自然數，同樣可以計算圓周率，不過數據量就一定很大，因為這是一個概率問題，數據量越大就越精確。

將數學性質放置於生活中，才是數學的魅力所在。 網摘 供參考。

會作圓，但不一定就懂得圓的性質。

兩千多年前我國的墨子才給圓下了一個定義：「一中同長也」。意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。

圓周率：圓周長與直徑的比值，是一個非常奇特的數。

《周髀算經》上說「徑一周三」，把圓周率看成3，這只是一個近似值。

魏晉時期的劉徽於公元263年給《九章算術》作注。他發現「徑一周三」只是圓內接正六邊形周長和直徑的比值。他創立了割圓術，認為圓內接正多邊形邊數無限增加時，圓長就越逼近圓周長。

他算到圓內接正3072邊形的圓周率，圓周率=3927／1250 ，請你將它換算成小數，看約等於多少？

劉徽把極限的概念運用於解決實際的數學問題之中，這在世界數學史上也是一項重大的成就。

南北朝時候的數學家—祖沖之，他採用劉徽割圓術分割到12288邊形，又用劉徽圓周率不等式得祖沖之著名的圓周率不等式：

3.1415926<圓周率<3.1415927 ，是世界上最早的七位小數精確值。

他還用兩個分數值來表示圓周率：

22/7 稱為約率；

355/113 稱為密率。

從原理來說 圓周率就是一個圓的圓周與半徑的比值。

在紙上畫個圓 用繩子量出尺寸 然後就除唄。園畫的越大 得數越準確。所以圓周率的計算就受制於紙的大小。

工業越發達 紙張越大 圓周率計算越準確。所以科學與工業是相輔相成的喲。

我的數學題是3除3等於1,10除3等於整數，不是有小數，如10米除3等於1丈。