兩相鄰素數的最大間距能夠多大？

兩個連續素數最大間隔能有多大？中學時我們就知道，這個間隔可以任意大。但是一個更有趣的問題是，小於某個數 的所有素數最大間隔是多少？這個問題就十分困難了。

假設 是第 個素數，我們記 ，於是我們想知道 的大小。Erd?s在1938年懸賞10000美元，希望可以證明下述猜想：

其中不等式對任意常數 成立。這個猜想最終被Ford, Green, Konyagin, Tao以及Maynard各自獨立的證明。後來這兩組人開始一起合作，最終在2018年證明了如下結果，也是目前最好結果：

放一張他們證明這個結果之後的合照：（大佬雲集）

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那麼素數的最大間隔應該是什麼呢？也就是說， 應該是多大呢？Cramér做了一個很勇敢的猜想：

Cramér Conjecture:

他做出這個猜想的依據，是把素數當做隨機數。他計算了一族和素數同樣密度的隨機數，然後算出了隨機數的最大間隔的期望，於是做出了這個猜想。

這個就有意思了。困擾數學家這麼久，誰都搞不懂的素數，居然是隨機分布的？不過還真有可能。比如大家熟知的Green-Tao定理，陶哲軒的成名作，證明了素數包含任意長的等差數列，其中一個主要思想就是把素數當作偽隨機數。

那什麼是隨機？

實際上隨機並沒有大家想的這麼容易理解，理解隨機性也是現代組合數學的核心問題之一。二十世紀末，憑藉其對隨機的理解，Szemerédi證明了Erd?s-Turán猜想，從而獲得了阿貝爾獎。Szemerédi在其證明中用到的對隨機的理解有點哲學：「萬物皆隨機「。具體的說，隨便拿一個確定的、完全不隨機的東西，我都可以把他分為幾部分，使得每兩部分之間看起來和隨機的一樣。確定的對象中都包含著隨機。

放到2019年這個時間，回頭看當時Szemerédi的理解就有點粗糙了。他的理論的主要缺陷是，只對稠密的對象起作用。如果你看過regularity lemma，你應該可以看到，Szemerédi當時認為，用 範數可以來描述隨機性。

第一個對隨機性提出不同理解的是菲爾茲獎得主Gowers。他提出了 範數，現在被稱為Gowers範數。

範數的提出大概是Gowers對數學的最大貢獻之一了。通過定義可以看出 範數就是 範數，不過可惜對於 比較大時就沒有這麼好的等價關係了。Gowers認為，隨機性是被 範數更好的描述的。使用 範數，我們可以描述一些稀疏集的隨機性了，雖然還不能太稀疏。目前對 範數的研究，也是組合數學中的一大熱點。

不過這些也只是數學家的近似描述。至於什麼是真正的隨機和偽隨機，人們還不知道。

間距可以任意大。構造n!,可知n!+2到n!+n中每一個都是合數。

素數的間距一直是數學中很難的問題。

假設 表示第 個素數，那麼

第一個結論是張益唐在 2013 年證明的，表示素數之間的間距可以很」小「（Small Gaps）；第二個結論可以由素數定理直接推導而得，表示素數之間的間距可以很」大「（Big Gaps）。

素數定理指的是：假設 是不大於 的素數個數，則

考慮區間 （ 充分大），如果該區間內的相鄰素數的間隔都小於 ，那麼就有 。而通過素數定理可以得到當 充分大的時候， ，i.e. 。因此，上述不等式的左側的量級是 ，右側的量級是 。矛盾。所以說，對於 充分大的時候， 內至少存在一對相鄰素數使得它們的間隔大於 。而素數是有無窮多個的，因此， 。

素數間距可以任意大：對於任意大的n, 有n!+2,...,n!+n都是合數。

關於更精細的估計，見https://primes.utm.edu/notes/gaps.html。這個網站總結得不錯。這個問題還遠遠沒有解決，目前知道n以下素數的最大間距小於任何線性增長(由素數定理易得)但嚴格大於log n增長(Westzynthius 1931)。Cramer 1936 猜想增長應該是(log n)^2，並在假設黎曼猜想的情況下證明了弱化結論：增長不大於sqrt(p)log p

理論上是任意大小

// 10個連續素數（第一個約等於2^10）：
1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091
// 相鄰的兩兩之間的差值是 2 6 10 2 10 2 6 18 4

// 10個連續素數（第一個約等於2^2048）：
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596231637
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// 相鄰的兩兩之間的差值是 636 1446 148 932 3262 2438 822 60 372


實際上在2^3000範圍內間距感覺並不大，不會超過10000的樣子