為什麼球的表面積不是π2R2?

下面是我的論證過程，請問各位大神，哪裡錯了。。。（根號下的加號應該是減號的。）

首先結論，思路是錯的。

先來按題主的思路列出一個積分式：

換元 ，同時上下限變為

雖然答主不太會算微積分，但是卻巧妙的利用平面中圓面積的計算），也是通過多段窄邊線段疊加而成，用得到了式子替換走了自己不會算的部分。這裡問題就變成了為什麼平面中的微積分思路和三維中的微積分思路一樣，但是三維卻出現了一點問題。

再來一個問題，求地面半徑和高為R的圓錐側面積，同樣用題主的思路，得到積分：

小學生都能算出來圓錐側面積是 ，為什麼我用大學學的微積分算不出來，是不是哪裡出了問題？

來看一下積分的時候幹了什麼

這裡dh和母線夾角是45°，很熟悉，這不就是 嗎？原式改一下：

到這裡我們就發現問題所在了，空間中的球面是彎曲的，他並不能等效於平面中的求面積，題主在求每一份圓柱面的都是垂直與底面的，但是顯然每一份圓柱面都應該對應一個角度。對，每一個弧面都有一個切面(梯度)，對應到平面大概是曲線的導數。

因此題主在三維中用窄圓柱面的求法忽略掉了面的彎曲，相當於在二維平面中求圓周長時忽略掉了線的彎曲，如下：

此時圓周長s=4，因為s=2π

所以，我宣布π=2勢力正式出現。

這個問題我已經回答過了。

如下

https://www.zhihu.com/answer/1025381835

首先，從頭開始就錯了，球的表面積並不等於劃分後的圓柱側面積的和，如果在球坐標系中，對應於 的圓環的面積為 ，而對應於 的圓柱的側面積為

另外你寫的過程有不少筆誤，就不一一指出了

其實也不用計算，按照你的思路，球表面可以分割為無數個半徑不同的圓周，圓柱體側面可以分割為無數個半徑相同的圓周，但是通俗的來講，球表面分割的圓周個數是比圓柱體分割的圓周數量要多。類似於直角三角形斜邊大於直邊一樣，圖我就不畫了。

當然，這只是一個直觀的解釋，是非常不嚴謹的，不過嚴謹的計算估計你也看不懂，畢竟積分你也不太會，這裡就不寫了

微分後確實常用直線段來近似曲線段，但直線段的方向不是隨便選的，往往是用與曲線段相切的直線段，這樣才能確保兩者相差僅有一個高階小量。

比如問題中的球面，可以看成半圓上的每一個曲線段旋轉360度相加得到，但要用與之相切的直線段近似時，會發現這些直線段的方向不是固定不變的，而是跟坐標有關。

題主出錯的地方就在於近似所用的直線段方向沒搞對。

不是等價的，因為你取的微元極限不是1。那段微元弧長和他在坐標軸上的投影微元極限比不是1啊，但是和他的弦長極限才是1，所以你要用弦長圓柱面的表面積才對。

再往後學學重積分，要用三重積分的