二階導數的符號問題？

04-12

為什麼不記做 $frac{d^2 y} {d^2 x}$ ,而是記作 $frac{d^2y}{dx^2}$ ,不會讓人誤解 $dx^2 = 2dx$ 嗎？這麼做的好處在哪？
看到了這個回答，對 $(frac{d}{dx})^2$ 展開為 $frac{d^2}{dx^2}$ 不太理解，覺得為 $frac{d^2}{d^2x}$ 也可以啊。畢竟 $(sin x)^2 = sin^2x$

$mathrm{d}^2y=mathrm{d}(mathrm{d}y)$ 這說明 $mathrm{d}^2y$ 表示對 $y$ 進行兩次微分操作

當 $x$ 為自變數的時候， $mathrm{d}x$ 是一個與 $x$ 無關的變數，有：

$mathrm{d}^2x=mathrm{d}(mathrm{d}x)=0$ （相當於對常數微分）

所以不能記為 $mathrm{d}^2x$

$mathrm{d}x$ 是一個整體，在二階導數的表示方法裡面為了簡便起見，令：

$(mathrm{d}x)^2=mathrm{d}x^2$

要想表示對 $x^2$ 的微分就寫成 $mathrm{d}(x^2)$ ，所以不會產生誤解

最後附上完整推導過程：

$mathrm{d}^2y=mathrm{d}(mathrm{d}y)$

$=mathrm{d}(f(x) , mathrm{d}x)$

$=mathrm{d} (f(x)) mathrm{d}x+f(x) mathrm{d}(mathrm{d}x)$

$=f(x)(mathrm{d}x)^2+0$

$=f(x) , mathrm{d}x^2$

即 $frac{mathrm{d}^2y}{mathrm{d}x^2}=f(x)$

高階導數依此類推

為什麼二階導數要這麼記d^2y/dx^2？ - 數學

騷年，善用搜索引擎啊！其實二階微分運算元應該這麼寫 $frac{d^{2} }{dx^{2} }$ ，那個y是該運算元作用的函數，這個運算元整體表示對x取二次微分，我覺得沒人會誤會的。

$(frac{d}{dx})^2$ 展開為 $frac{d^2}{dx^2}$ 你不理解，嗯，其實符號運算 $(frac{a}{b} )^{2}= frac{a^{2} }{b^{2} }$ 這又是為什麼呢？因為定義 $a^{2}=acdot a$

你還是從運算元角度理解吧，那個形式推導，我其實學的時候也沒看過。

這麼多答案，幾乎都沒有回答在點子上，這讓我產生了寫點什麼的想法。

二階導數之所以記為 $frac{{ m d}^2 y}{{ m d}x^2}$ 是有歷史淵源的，它來源於二階差商的概念。

一、差分

差商又來源於差分。這裡先從差分說起。

對於函數 $y=f(x)$ ，賦予自變數 $x$ 一個固定的增量 $Delta x$ ^[1]，就定義

$Delta y=f(x+Delta x)-f(x)$

為函數 $y=f(x)$ 的一階差分。那麼，將一階差分再作差分，就得到二階差分，即

$Delta(Delta y)=Delta (f(x+Delta x)-f(x))$

類似地，還可以定義三階、四階……直至 $n$ 階差分。隨著階數的增加，左端的記號會變成 $Delta(Delta(Delta y)),Delta(Delta(Delta(Delta y))),cdots$ 這過於複雜，於是數學上將它簡記為 $Delta^n y,$ 這裡 $n$ 雖然寫在右上角，但並不是乘方冪次，僅僅表示差分階數。因此， $Delta^2 y$ 就是二階差分， $Delta^3y$ 就是三階差分，以此類推。

二、差商

有了差分的概念，我們就可以定義差商：

一階差商 $frac{Delta y}{Delta x},$ 二階差商 $frac{Delta^2 y}{(Delta x)^2},$ …… ， $n$ 階差商就是 $frac{Delta^n y}{(Delta x)^n}，$

這裡，分母上的 $n$ 確實表示 $Delta x$ 的冪次，括弧即使去掉也不會產生誤解，只要我們牢記這是 $Delta x$ 的乘方。

三、作為差商極限的導數

現在，我們來研究差商和導數的關係。事實上，可以證明：

函數的 $n$ 階導數（如果存在）就是 $n$ 階差商在 $Delta x o 0$ 時的極限。^[2]

很清楚，對於一階導數來說，這是成立的，完全就是定義。那麼，對於二階導數又如何呢？這裡我們考慮先將 $Delta^2y$ 作一下變形，容易得到

$egin{align*} Delta^2y=Delta (f(x+Delta x)-f(x))\ =f(x+Delta x+Delta x)-f(x+Delta x)-(f(x+Delta x)-f(x))\ =f(x+2Delta x)-2f(x+Delta x)+f(x).\ end{align*}$

於是二階差商的極限，就是

$egin{align*} lim_{Delta x o 0}frac{Delta^2 y}{Delta x^2}=lim_{Delta x o 0}frac{f(x+2Delta x)-2f(x+Delta x)+f(x)}{(Delta x)^2}. end{align*}$

這個極限怎麼求呢？注意，二階導數是存在的，容易看出這是一個 $0/0$ 型極限，於是可以考慮利用洛必達法則，就有

$egin{align*} lim_{Delta x o 0}frac{Delta^2 y}{Delta x^2}=lim_{Delta x o 0}frac{f(x+2Delta x)-2f(x+Delta x)+f(x)}{(Delta x)^2}\ =lim_{Delta x o 0}frac{2f(x+2Delta x)-2f(x+Delta x)}{2Delta x}\ =lim_{Delta x o 0}frac{f(x+2Delta x)-f(x+Delta x)}{Delta x}.end{align*}$