究竟如何理解 dx？

04-12

在我的高數課本上，dx是在微分部分單獨引入的，我一直將dx理解為一個趨向於0的x。在接下來的導數部分，課本上通過對dx的運算將dy/dx定義為導數。那麼為什麼鏈式法需要用複雜的手法證明呢？用dx的符號理解鏈式法則難道不是顯然的嗎？
有人說導數運算應該將d/dx看做整體的運算符號，而不能看做單純的比值，可是在dx引入的時候，它就是單獨存在的阿。為什麼到了後面就不能單獨分開了呢？

首先，導數的定義並不是dy/dx，它只是在數值上等於導數值。另外，如果鏈式法則直接用微商的乘法來理解，對於一階微商還好說，對於高階微商，你可以思考一下還能這麼做嗎？更進一步，高階導數的微商形式為啥是那樣的形式。你需要先理解一階微分的定義，就會明白上面所有的問題，詳見：

高階微分(或微分)的概念怎麼理解？?

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額外思考題：對於多元函數的情況，全微分與偏微分在積分裡面區別與不同，以及全導數與偏導數之間存在的鏈式法則關係又有什麼不同？思考完這些問題，可以說你的微分學的基礎差不多比較牢固了。

既然題主已經學過微分部分了，那我們就直接從微分角度入手。

我們要明白是先有什麼後有什麼。首先第一個，我們有導數的定義(不再贅述)，手機打字就不打定義式了，現在設y是關於x的函數，y的導數就是y

然後我們來看微分，微分的定義是當Δx(x的增量)是一個無窮小量時，若Δy可以表示為AΔx+o(Δx)的形式，那麼稱y在x0點可微，這時候dy叫做y的微分，且dy=AΔx

注意，微分的定義與增量的形式有區別，兩者差了一個o(Δx)，增量是完完全全的等於，只有證明除了AΔx的部分是Δx的高階無窮小時才能說AΔx是y的微分，而且dy是一個極限形式。

再注意到，這裡並沒有用dx來代替Δx，微分的定義使用的就是Δx。

我們再來看微分與導數的關係，一元函數可以通過導數的定義式證明若y可導則y一定可微，且滿足Δy=yΔx+o(Δx)即dy=yΔx。

接下來我們再看什麼是dx，從微分的角度說dx是x的微分，令z=x，我們可以證明dx=dz=Δx，這樣我們就有了兩個式子

dy=yΔx
dx=1Δx

通過上述兩個式子我們可以得出dy/dx=y

為什麼dy/dx=y，這是因為微分和導數的定義導致的(那不廢話嗎微分就是根據導數定義的)，不是因為dy/dx是一個符號，也不是因為d/dx是一個符號，不過確實d/dx可以作為一個算符使用，那也是後話了。

所以針對樓主問題的答案，什麼是dx，dx就是自變數的微分，它等於一個無窮小量，既然是自變數的微分，就可以進行各種運算，比如3dx=d3x一樣。但是永遠別忘了，有一個高階無窮小的存在，很多定理的證明，都需要考慮這個無窮小量，就像鏈式法則的證明一樣。

很多高數書的解釋雖然通俗，實際上卻是扯淡。微分的嚴格定義是一個映射。

對於函數f(x)，微分df定義為一個映射，它把h映射到f(x)h。這樣dx就是恆等映射。我們還可以定義微分映射的加法，數乘什麼的。我們熟悉的dy/dx其實是映射的除法，就是把兩個映射的值相除。這樣就是y(x)了。

就醬(

題主的問題是為什麼鏈式法則需要這麼複雜的手法證明嗎？提問中你把導數作為微分的比值，因此覺得鏈式法則 $frac{dy}{dt} frac{dt}{dx} = frac{dy}{dx}$ 是很顯然的。

但是首先，將導數當作微分的比值只在一元函數的情況下是正確的，在多元函數的情況下，函數的微分與函數的偏導數並不是一回事，也就是說，相對於可以理解成比值的 $frac{dy}{dx}$ ，偏微分 $frac{partial y}{partial x}$ 才是真的不可分割的整體符號，多元函數中鏈式法則的證明顯然不能像一元函數中那樣做。

其次，即使在一元函數中把 $frac{dy}{dt} frac{dt}{dx} = frac{dy}{dx}$ 當成鏈式法則的證明是有問題的，原因是即便 $dx$ 不為零時，中間量 $dt$ 也可能為零，這時候 $frac{dy}{dt}$ 是沒有意義的。

設 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都可微，則 $F(t) = f(g(t))$ 也可微，且 $F(t) = f(x) cdot g(t)$ ，即 $frac{dy}{dt} = frac{dy}{dx} cdot frac{dx}{dt}$

這是鏈式法則。而證明是：

$Delta y = f(x)Delta x + varepsilon_1 Delta x$ , $Delta x = g(x)Delta t + varepsilon_2 Delta t$
當 $Delta t ightarrow0$ 時，有 $varepsilon_2 ightarrow0$ 這種情況下，即使 $Delta t e0$ ，也可能有 $Delta x = 0$ ，此時可以定義 $varepsilon_1 = 0$ ，於是就有 $Delta y = (f(x) + varepsilon_1)(g(x) + varepsilon_2)Delta t$ ，即 $Delta y = f(x)g(t) cdot Delta t + [varepsilon_1g(x) + varepsilon_2f(x)+varepsilon_1varepsilon_2]Delta t$
這時顯然有 $lim_{Delta t ightarrow 0}{frac{Delta y}{Delta t}} = f(x)g(t)$ 。