什麼是半微分（semi-differential）？有什麼幾何意義嗎？

題主問的可能是0.5階導數？

可微積分函數 在 處的 階導數定義為

其中 是 的連續區間,

這是分數微積分中的 Riemann–Liouville 導數。正常的推導思路應當是這樣的。

1.首先，我們需要提出一個問題，並將其儘可能規範地表達出來。

問題

給定函數 以及 假設它足夠友好，我們可以定義它的 階導數。那麼，我們不禁遐想，是否能將 推廣到一般的實數域呢？譬如，以此類比出「半階」導數？

2.為探究這個可能的定義，我們往往需要從簡單的情況入手。

一個粗略的想法是，我們可以令 應有

那麼一個自然的思路便產生了，我們可以在此設 看看會出現什麼。

3.下面要探究它的性質。

比如，令 我們會發現

這是一個很棒的結果，因為積分作為微分的逆運算，它恰好出現在了這個合適的地方。這表明我們的定義似乎兼容了現有的代數結構。但注意到 不一定是個整數，那麼熟悉階乘的朋友應該會想到 函數。照顧到部分讀者，這裡不詳述它的定義，只是指出一個事實：我們可以將階乘推廣到實數域上，可以定義大部分實數的階乘。這裡大部分的意思是在提醒， 取負整數時，其階乘是不存在的，或者說趨於無窮。因為根據階乘的性質 我們會發現比如 這裡就不好說清 的取值了。實際上任意負整數都會被零像這樣「干擾」。不過，這些特殊情況不影響我們探究 先讓我們繼續大膽地使用這個階乘，進一步探究其它性質。

考慮 。根據這個定義，我們有

進而地

又一個很棒的結果。這說明 的半階導數的半階導數就是它的一階導數。普遍地，我們不難證明這樣的一個結果。

定理

只要 不是負整數，應該有

我們試著驗證導數的平移性質，或者說，我們希望比如 然而 我們的代數結構出問題了？注意到令 我們期望平移後的導數不變，但這顯然不是它的積分。為了兼容這一點，我們只好放棄平移性質，選擇後者定義。這也說明，即使定義的思路是自然的，但其性質仍可能與我們所想的大相徑庭。以上的 可適用於多項式，下面要考慮一般的情況了。

4.開始嘗試推廣。

這時候就需要「注意到」了。這種注意基於一定的經驗，要求探索者具有足夠的知識儲備，才有可能發現一些可能的工具。比如說，Fourier 變換或許是一個可能。對 來說，其變換為

若知道一個函數的 Fourier 變換，就可以通過 Fourier 反變換得到原來的函數. 而且它可以將求導運算變為乘積即 那麼定義任意 階導數的關鍵就在於將函數做變換. 然而對於簡單的比如 就根本不能做變換，因為其積分發散. 那麼看上去，這個想法似乎失敗了. 等等，類似的 Laplace Transform 可以做到嗎？答案是肯定的，這一點其它答主已經給出。持續沿著這條路，我們將直接得到 Cauchy 積分公式。那麼是否有另一些路可以到達這個公式呢？

有了上面的啟發，我們記 嘗試類比出 首先觀察 具體地我們有

於是得到 Cauchy 積分公式

於是我們可以定義

當然，積分必須收斂。細心的朋友應該注意到我用的是記號 因為這實際上不是最終的定義，我們繼續來探究性質。比如說可以得到

定理

考慮 應有

考慮計算常函數的半階導數，比如 令 得到的積分 發散. 考慮調整定義，注意到若 即 積分收斂。可以將 定義成 我們會發現這在 我們的意料之中。那麼 可以嗎？實際上 這意味著結果是一致的。於是我們終於得到最終定義。

5.正式定義

定義 階導數為 其中 是任意一個使得 有定義的整數。

譬如對於 我們就可以取 我們也得到一個重要結論。

定理

若 則 自然，半階導數的半階導數是一階導數。證明只需注意 以及 的充分條件為

然而正如您所見，這受到了條件約束。因為比如當我們令 時，則右式是先求導後積分，這將得到 再比如，考慮常函數 其 階導數為 明顯這裡的 為正整數時，表達式恆為零。當它不是整數時，這個表達式是一個冪函數。因此，若令 那麼右式立刻消失，然而左式是非零的。值得注意的是，對於一般的 而言， 並不由 在 附近的取值決定，而是由它在整個區間 的值決定，考慮 就能看出這一點。

謝邀。

以下是Travor的專場。

zhuanlan.zhihu.com

@TravorLZH 的這篇文章里對分數階微積分做了相當透徹的唯象層面的討論，特此推薦，深度好文，不容錯過！

配合

zhuanlan.zhihu.comhttps://zhuanlan.zhihu.com/p/114595109?

zhuanlan.zhihu.comhttps://zhuanlan.zhihu.com/p/126421949?

zhuanlan.zhihu.com

這三篇文章食用效果更佳。

@TravorLZH 的文章有一個最大的特點，就是手把手帶著你去思考和解決問題，體系是完全self-contained的，起點放得很低，但落點一點也不低，這也是他創作的一貫風格。

如果題主能靜下心，一支筆，一沓紙，一壺茶，一個晚上，從頭到尾盲推一遍，一定會有些新發現。

這些文字里透射出的是他的執著，他在用自己的方式去描繪他所認為數學分析最優美的部分，用流暢而清新的語言闡釋著每一條定理和公式，記錄著自己的嘗試。

他對一個問題持之以恆的探索，而且真的能做到有問題就去解決問題，有一定文獻檢索能力和歸納能力，將一個本來是噱頭的東西加以推廣，揭示其背後的更深刻的比如分析學上的意義，並善於在一個個新的意義中構建廣泛的聯繫，而不是僅僅安於現狀做一些無腦的機械重複這是值得佩服的地方。

在特殊情況下可以通過拉氏變換來推導分數階微分（半微分的推廣）的計算公式：

假設 且 則設 ，利用拉氏變換的微積分性質，可得：

所以我們不妨推廣一下，設 則 。再根據卷積定理以及 ，有：

如果對兩側同時逆變換，就能得到分數階導數的計算公式：

為了推廣，設 則有：

當r為負整數時，我們就得到了迭代積分公式：

我前兩天剛好讀到一個需要用到形式平方根存在的證明，以下我只是outline一下melrose 18.157 note的47頁左右開始的一個proof

我們試圖證明，如果 A是一個0階的 "pseudodifferential operators of type 1,0," Melrose定義成存在weighted symbol for some omega, m是階數。 那麼A 在L^2 里是一個bounded linear operator。

通過計算得知Schur Lemma implies 負無窮階的pseudodifferntial operator在L^2里bounded,因為它的kernel locally integrable並且在x，y上有界。另外，對一個self adjoint 的橢圓operator A with positive symbol來說，因為我們可以對它的symbol泰勒展開式的寫出平方根，我們可以找到 B,使得A-B^2的階數無限負。 準備工作到這裡就結束了

我們試圖證明的實際是

兩邊平方

其中 A*A self-adjoint, 它的symbol雖然不是正的，但是我們可以取一個Upper bound (依原始假設) of the symbol to be a constant E, 在準備工作中我們證明了 E-A*A 存在形式平方根，(條件為恆正和橢圓，然而在0階里這兩個是一樣的) 即

R通過 Schurs Lemma 有界，B*B恆非負，然後簡單的計算告訴了我們這個E加上對R的bound就可以bound A了。

為什麼我們想拆掉A呢？這裡我的理解是這樣的，一個operator的output 函數的性質當然是與operator的性質 和函數的性質相關的，但不再是一個簡單，線性的關係了。 在Multilinear的性質里我們把A平均的分在每一個Variable上，那我們就可以利用正定性給一些約束。

當然這些都非常technical,幾何意義的話，我的first example 應該是Dirac Operator吧，用處非常廣，這裡我怕多說多錯就乾脆不說了TAT

另外，wiki里fractional calculus上舉了很多的方程的例子，說明在物理里是有實際意義的，然而我分析和物理顯然都沒有學好。

以及最後，Melrose這裡tribute this idea to Hormander，但是我並沒有找到reference 有知道的煩請評論/私信

分數階微積分嗎？正好畢業論文做的分數階控制系統

分數階微積分比較好的幾何意義是籬笆上移動的影子，雖然我整不明白。。

反正記住，分數階微積分有記憶特性，能記住歷史值，所以動態特性很好，但是計算超級複雜就行了。具體計算我還是推薦分數階運算元直接離散化，可以看看薛定宇的方法

研究了一年，反正我覺得用處沒有預期中的大

老實說直到現在意義還不是特別大。