為什麼二次函數橫向平移是左加右減呢？

03-13

而不是左減右加？

我一直覺得高中教導的左加右減上加下減就是誤人子弟的。這分明就是用換元法能一步寫明白，一步想明白的東西，非要整個似是而非的口訣。而最過分的是，如果你對其中的原理掌握不明白的話，亂用口訣反而會得到錯誤的結果。

比如直線方程 $x+y+6=0$

請問這個直線向上（或者說沿y軸正向）平移六個單位後的方程是下面哪個？

$A：x+(y+6)+6=0$

$B：x+(y-6)+6=0$

習慣上加下減是不是很容易就選A了？但是仔細想想，原本的直線過點 $（0，-6）$ ，向上平移後直線過點 $（0，0）$ ，因此答案是B才對。

實際上對圖像平移，可以直接用換元來解決。

還是以上面的直線方程舉例，將直線向左平移2個單位，向上平移3個單位。

設直線上某點坐標 $(x,y)$ ，該點平移後的坐標為 $(x,y)$

則很容易知道

$x=x-2$

$y=y+3$

即

$x=x+2$

$y=y-3$

用 $x$ 和 $y$ 來替換 $x$ 和 $y$

得 $(x+2)+(y-3)+6=0$

即 $x+y+5=0$

因此平移後的直線方程為 $x+y+5=0$

這裡換元法的優勢在於，對於三維甚至更高維的直線方程、曲面方程，都是可以適用的，三維坐標你怎麼用左加右減上加下減呢？

實際上，我在備戰考研時，對於類似下面這樣的習題，也會用換元法對積分區域進行平移來簡化計算。

計算二重積分 $I=int_{}^{}int_{}^{}xdS$ ,積分區域為 $D={(x,y)|x^2+y^2leq2x }$

很容易知道，區域D是一個以 $(1,0)$ 為圓心，半徑 $r=1$ 的圓，我們把這個區域向左平移1個單位，把他的圓心平移到原點上，這樣就可以很方便的用極坐標進行替換計算了。

將區域向左平移一個單位，對於平移後的橫坐標 $x$ 有 $x=x-1$ 即 $x=x+1$

用 $x$ 替換 $x$ ，因此原二重積分 $I=int_{}^{}int_{}^{}(x+1)dS=int_{}^{}int_{}^{}xdS+int_{}^{}int_{}^{}dS$ ,積分區域 $D={(x,y)|x^2+y^2leq1 }$

顯然區域關於x對稱，因此 $int_{}^{}int_{}^{}xdS=0$ ，故 $I=int_{}^{}int_{}^{}dS=pi$

或者這裡我們計算相同積分區域的另一個二重積分 $I=int_{}^{}int_{}^{}x^2dS$

平移後 $I=int_{}^{}int_{}^{}(x+1)^2dS=int_{}^{}int_{}^{}(x^2+2x+1)dS$

其中我們知道 $int_{}^{}int_{}^{}2xdS=0$ , $int_{}^{}int_{}^{}dS=pi$

而 $int_{}^{}int_{}^{}x^2dS=int_{0}^{2pi}cos^2 heta d hetaint_{0}^{1}r^3dr=4*I(2)*frac{1}{4}=frac{pi}{4}$

得 $I=frac{pi}{4}+pi=frac{5pi}{4}$

所有函數都是這樣

我們有三種方法去理解。其中第三點非常重要，前兩點可以不看

1、圖像向左平移，意味著要想達到同樣的y，我們新的x可以比原來的x小平移量。所以新的x的表達就是原來的x減去平移量。但y和x的關係是根據原來的x的，所以我們不是用原來的x表達新的x，而是用新的x表達原來的x。所以原來的x=新的x加上平移量。

2、作為對1的補充，我們需要好好定義一下平移。圖像在坐標系裡的平移到底意味著什麼？意味著換元。不考慮換元作為中間步驟，思路上就是殘缺的。什麼叫換元呢？就是用一個新的x，替換原來的x，作為坐標上的標記；y同理。但是y和x的關係是根據原油圖像定義的，為了保持換元後圖像和原圖像除了平移外都相同，我們在表達式里要體現：當我們把換元結果倒推回去的時候，能使的原元保持原來的關係。所以其實是一個解方程的逆過程。

3、重要的來了。你有沒有考慮過為什麼y和x方向好像不一樣？事實上，我們寫y=f(x)的方式是不公平、不對稱的。對於函數、隱函數來說，對稱的寫法是f(x,y)=0。比如你的二次方程是y=x^+2x+3，那麼隱函數的寫法是f(x)=x^2+2x-y+3=0。好，然後對於任何函數、隱函數，所有的平移就是把對應的x和y換元。比如剛才這個，我們向右平移2，向上平移1，我們只要把f(x,y)中的x替換成(x-2)，y替換成(y-1)代入進去，也就是f(x-2, y-1)=(x-2)^2+2(x-2)-(y-1)+3=x^2-2x-y+4。這邊我們可以把它換回函數的表達方式，也就是y=x^2-2x+4。也就是說，對於任何f(x,y)的平移結果就是f(x-a,y-b)。

問得好，首先需要說明的是，這並不只是對於二次函數。對於任意的函數都存在這樣的現象。以下不從定義角度解釋，給題主從邏輯的角度講講看。

首先，我們理解一下函數的本質，是指一個映射的關係。從圖像的角度看，一個函數y=f(x)，y是圖像上的縱坐標，f是映射關係，x是圖像上的橫坐標。

那麼我們來看橫向平移的情況，

假設移動前圖像表達式是y=f(x)，移動後圖像表達式是m=h(n)。平移距離為d，d&>0則是向右平移。

那麼我們要求m=f(n)是y=f(x)橫向平移得到的。橫向平移的特點是什麼，用通俗的語言來講，我一米八，往左走了一步還是一米八，這才叫平移。你不能說我往左走就是一米九，往右走變一米七了。那不叫平移。

所以，對於圖像中每一個單獨的點，平移後的縱坐標是不能變的。

也就是說對於任意特定的點（x,y）在y=f(x)的圖像上，自然有y=f(x)。由平移後縱坐標不變，必然有h(x+d) = y，即（x+d，y）在平移後的圖像上

例如（1，3）在平移前的圖像上，d=2，向右平移2個單位，則（3，3）必然在平移後的圖像上

用數學語言描述，那就是f(x) = h(n+d)。翻譯回人話就是「平移前函數上所有的點，高度都跟他平移d距離後的高度一樣」

但是你是已經知道了f(x)和d，h是未知的。所以這個式子變換為f(x-d) = h(n)。也就是我們說的左加右減

所以你的疑惑解決了，為什麼左加右減這麼反人類？

從坐標上來看，平移確實是左減右加，（1，3）平移+2變成（3，3）。

坐標轉換為表達式就是f(x) = h(n+d)。這裡也還是左減右加。但是在這個式子中，f(x)、d已知，你想求的是h(n)，已知量扔到一邊這是很正常的思維，所以我們有一個類似移項的過程，就是這個過程導致了d的符號跟我們直覺上理解的恰好相反。

再更進一步，為什麼縱向平移y就是直接加減，橫向就會有這個問題呢？

說得通俗一點，對於y=f(x)、m=h(n)這兩個平移前後的式子來說，縱向平移建立的是y、m的對應關係，他們不套在f、h裡面，所以直接加減沒有任何問題，向上平移3，m = y+3。此時你知道y和d求m。

但是橫向平移建立的是x、n的對應關係，使得f(x) = h(n+d)，而此時你知道f、d想求h，勢必需要把d跟f統一起來，簡化h的形式。這就導致了上面說的需要"移項"，從而導致了符號跟直覺相反。

對於任何一個平面圖象的平移，都是「左加右減，下加上減」。

如果是空間的，那就是「左加右減，後加前減，下加上減」

是的，你沒看錯，是「下加上減」，而不是上加下減。

先說一個知識點：函數關係表達式，是函數圖象的方程。

函數表達式 $y=3x$ 是經過點 $O(0, 0), A(1, 3)$ 這兩點的直線 $OA$ 的方程。

對於每一個幾何圖形來說，無論這個幾何圖形是不是函數圖象，它都有自己的方程，方程中的各個變數（未知數）代表著對應維度的坐標。比如 $x^2+y^2=9$ 表示該圖形所有點的橫坐標與縱坐標的平方和是 $9$ ，這個圖形其實是平面上以原點為圓心，半徑為 $3$ 個單位長度的圓。

每個圖形都有自己的方程意味著，我們可以用方程這個代數表達式來描繪一個幾何圖形。那麼幾何圖形的各種變換就可以通過代數的方法去解決。變換意味著幾何圖形上所有點的各個維度的坐標分別做了相同的變換。

對於一個點 $(x, y)$ 來說，向右平移 $Delta x$ 個單位，向上平移 $Delta y$ 個單位得到的點可以表示成 $(x+Delta x, y+Delta y)$ 。當然如果 $Delta x<0$ 那就是向左平移 $-Delta x$ 個單位，如果 $Delta y<0$ 那就是向下平移 $-Delta y$ 個單位長度。

那麼我們是否可以考慮，滿足特定等式的所有點 $(x, y)$ 都進行同樣的平移操作，所得到的圖形的橫縱坐標又滿足什麼呢？

現在有一拋物線 $y = ax^2$ ，那麼上面所有的點必然都可以表示成點 $(x, ax^2)$ ．接下來我們對這個點向右平移 $h$ 個單位長度，那麼按照剛才提到的點的平移時的坐標變化，我們可以得到平移後的點的坐標是 $(x+h, ax^2)$

此時令 $x_1=x+h, y_1=ax^2$ ，那麼關於 $x_1, y_1$ 的方程就是這個平移後的新圖形的方程，亦即這個函數圖象的函數關係式，由 $x_1=x+h$ 得 $x=x_1-h$ ，所以 $y_1=acdot(x_1-h)^2$ ，因而，在圖形方程中，橫向平移是對表示橫坐標的變數左加右減。

那麼為什麼一開始我會說和課上完全相反的下加上減呢？

接下來我們對拋物線 $y=ax^2$ 向右平移 $h$ 個單位，向上平移 $k$ 個單位，也就是對點 $(x, ax^2)$ 向上平移 $k$ 個單位，得到 $(x+h, ax^2+k)$ ，令 $x_2=x+h, y_2=ax^2+k$ ，那麼我們有 $x=x_2-h, ax^2=y_2-k$ ，於是有 $acdot(x_2-h)^2=y_2-k$ ，我們發現，在圖形方程中，對表示橫坐標的變數就是左加右減，而對表示縱坐標的變數，也確實是下加上減。