有沒有大神可以把力矩的物理意義講清楚？

02-27

我只知道簡單的概念：M＝r × F，大小是 |M|＝|r| |F| sinφ，方向垂直於 r 和 F 所在的平面……
但是我對於這個概念的理解，不像能量 E、動量 p、位移 x、速度 v 這麼明確。希望有明白的人講的透徹一些！

謝邀，這裡從物體(剛體)的轉動說起。

如果看得累，可以至少看完第一、第二部分~

一、物體轉動與力矩的關係

首先，物體的運動有平動(Translational Motion)和轉動(Rotational Motion)。比如，在斜面上推動一滑塊，則該滑塊為平動；開門時門繞定軸轉，則為該門為轉動。

物體平動時有位移 $x$ ，轉動時有角位移 $heta$ ；平動時有速度 $v=frac{dx}{dt}$ ，轉動時有角速度 $omega=frac{d heta}{dt}$ ；平動時有加速度 $a=frac{dv}{dt}=frac{d^{2}x}{dt^2}$ ，轉動時有角加速度 $alpha=frac{domega}{dt}=frac{d^2 heta}{dt^2}$ 。

力(Force)直接改變物體平動狀態，力矩(Torque)直接改變物體的轉動狀態！

合外力是物體平動狀態改變的原因，而合外力矩是物體轉動狀態改變的原因！

對於平動，有 $F=ma$ ，其中 $F$ 為合外力， $m$ 為慣性質量（即質量）， $a$ 為加速度；而對於轉動，有 $M=Jalpha$ ，其中 $M$ 為合外力矩， $J$ 為轉動慣量， $alpha$ 為角加速度。

（對於轉動也有寫法為 $au=Ialpha$ ，其中 $au$ 為合外力矩， $I$ 為轉動慣量， $alpha$ 為角加速度。）

由此可知，力直接導致物體的加速度，而力矩直接導致物體的角加速度。當然，當合外力矩為0時，物體不轉動，比如槓桿平衡。

二、對力矩計算的理解

力矩是力的一種使物體以一定角加速轉動的能力。

$M=r imes F$ （矢量的叉乘）

力矩的大小： $M=r_{ot}F=rF_{ot}=rFsinvarphi$

力矩的方向：垂直於 $r$ 和 $F$ 所在的平面

三、力矩與物體靜平衡

一個物體靜平衡，既需要達到平動上的平衡也需要達到轉動上的平衡。

平動上的平衡要合外力為零，而轉動上的平衡要合外力矩為零。

即靜平衡需要： $Sigma F=0$ 且 $Sigma M=0$

這裡給一個簡單的物體靜平衡的例子：

一長度為 $l$ 、質量為 $m_1$ 的梯子倚靠在光滑牆面上，與地面夾角為 $heta$ 。某工人站在梯子的三分之二高處，其與手上器具的總質量為 $m_2$ 。若牆面與梯子的摩擦忽略不計，為了防止梯子下滑，梯子與地面的靜摩擦係數至少要是多少？

梯子不下滑，需要靜平衡，則合力、合力矩都必須為0.

受力分析：

-->

$F_{Nh}$ - 牆對梯子的支持力

$F_{NG}$ - 地面對梯子的支持力

$F_{f}$ - 地面與梯子間的摩擦力

$F_{gl}$ - 梯子的重力

$F_{gFF}$ - 人與器具的總重力

選擇梯子與地面的接觸點為支點：

因為 $Sigma F=0$ ，所以 $Sigma F_x=0$ 且 $Sigma F_y=0$ 。

首先 $Sigma F_y=0$

則 $F_{NG}+F_{gl}+F_{gFF}=0$

$F_{NG}-m_1g-m_2g=0$

$F_{NG}=(m_1+m_2)g$

同時 $Sigma M=0$

則有 $M_{NG}+M_{f}+M_{gl}+M_{FF}+M_{Nh}=0$

$0+0+frac{l}{2}cos heta m_1g+frac{2}{3}lcos heta m_2g+lsin heta F_{Nh}=0$

$F_{Nh}=frac{lcos heta(frac{1}{2}m_1g+frac{2}{3}m_2g)}{lsin heta} =cot heta (frac{1}{2}m_1g+frac{2}{3}m_2g)$

還有 $Sigma F_x=0$

則 $F_f+F_{Nh}=0$

$F_f=-F_{Nh}$

$left| F_f ight|=left| F_{Nh} ight|=cot heta (frac{1}{2}m_1g+frac{2}{3}m_2g)$

則梯子與地面的靜摩擦係數至少為

$mu=frac{F_f}{F_{NG}}=frac{cot heta (frac{1}{2}m_1g+frac{2}{3}m_2g)}{(m_1+m_2)g}=frac{cot heta (frac{1}{2}m_1+frac{2}{3}m_2)}{m_1+m_2}$

四、力矩與物體平動加轉動

一個物體平動遵守 $F=ma$ ，轉動遵守 $M=Jalpha$ 。

【其中 $F$ 為合外力， $m$ 為慣性質量（即質量）， $a$ 為加速度； $M$ 為合外力矩， $J$ 為轉動慣量， $alpha$ 為角加速度。】

這裡給一個簡單的物體平動+轉動的的例子：

如圖，細繩包裹著一個質量為 $m$ ，半徑為 $R$ 的均勻實心圓柱體，圓柱體從靜止開始下落。該圓柱的轉動慣量為 $frac{1}{2}mR^2$ 。則當圓柱下落時細繩的拉力是多少？

-->

（CM指質心）

受力分析：

-->

$T$ - 細繩拉力

$mg$ - 圓柱重力

該均勻圓柱繞質心轉動，故力矩的大小為 $M=TR$ 。

所以合外力矩為 $M=TR$ 。

由於 $M=Jalpha$

故有 $TR=frac{1}{2}mR^2alpha$ ······ (1)

由於 $F=ma$

故有 $mg-T=ma$ ······ (2)

線加速度 $a$ 與角加速度 $alpha$ 的關係為： $a=Ralpha$ ······ (3)

聯立(1)(2)(3)，可得 $a=frac{2}{3}g$

將 $a=frac{2}{3}g$ 代入(1)，得當圓柱下落時細繩的拉力為 $T=frac{1}{3}mg$ 。

五、力矩與角動量

物體的角動量等於其轉動慣量與角速度的乘積： $L=Jomega$ ，其中 $L$ 為角動量， $J$ 為轉動慣量， $omega$ 為角速度。

則其微分形式為 $dL=Jdomega$

由於 $M=Jalpha$ , $alpha=frac{domega}{dt}$

故力矩可重新表示為 $M=Jfrac{domega}{dt}=frac{dL}{dt}$

由此可知，物體所受的外力矩等於其角動量的變化率。

由 $M=frac{dL}{dt}$ ，可得 $Delta L=int_{t_1}^{t_2}Mdt$

由此可知，角動量的變化量是力矩對時間的累積效應。 $Delta L$ 也稱為衝量矩。

這可以類比於物體平動所受的外力等於其動量的變化率、物體平動動量的變化量（衝量）是力對時間的累積效應。（ $F=frac{dP}{dt}$ 、 $Delta P=int_{t_1}^{t_2}Fdt$ ）

六、力矩做功

首先，功的基本定義是：

$dW=Fcdot dr$

然後如下圖：

-->

進一步地，根據矢量的點乘，對於定軸轉動物體有 $dW=Fcdot dr=(F_{ot})(r dvarphi)$

則 $dW=(F_{ot}r) dvarphi=Mdvarphi$

故 $W=int_{varphi_1}^{varphi_2}Mdvarphi$

因此，對(定軸)轉動物體做的功，是力矩做的功。

類比於物體平動時力做功 $W=int_{r_1}^{r_2}Fcdot dr$ ，物體轉動時有力矩做功 $W=int_{varphi_1}^{varphi_2}Mdvarphi$ 。

七、力矩與轉動動能定理

之前所說外力矩做功有： $W=int_{varphi_1}^{varphi_2}Mdvarphi$

由於 $M=Jalpha$ ， $alpha=frac{domega}{dt}$

故有 $W=int_{varphi_1}^{varphi_2}Jalpha dvarphi=Jint_{varphi_1}^{varphi_2}frac{domega}{dt}dvarphi$

由於 $omega=frac{dvarphi}{dt}$

所以 $W=Jint_{omega_1}^{omega_2}omega domega=frac{1}{2}J omega_{2}^{2}-Jomega^2_1$

因為定義物體的轉動動能為 $E_k=frac{1}{2}Jomega^2$ ，所以 $W=E_{k_2}-E_{k_1}$ 。

由此可知，合外力矩對物體做的功等於該物體轉動動能的變化量。這就是轉動中的動能定理。

這可以類比於物體平動時的動能定理：合外力對物體做的功等於該物體平動動能的變化量。

八、機械能守恆時力矩與勢能的關係

在沒有非保守力時機械能守恆：

$E_{總}=E_k+E_p=常數$

其微分形式為

$dE_{總}=0=dE_k+dE_p$

由於功等於動能的變化量 $W=Delta E_k=E_k-E_{k_0}$ ，微分形式 $dW=dE_k$

所以當機械能守恆時勢能與功的關係為

$dW=dE_k=-dE_p$

之前已提，對於定軸轉動物體有 $dW=Mdvarphi$

則 $M=frac{dW}{dvarphi}$

故有 $M=-frac{dE_p}{dvarphi}$

（注意僅當力矩是由保守力產生時該關係才有效。)

九、力矩與功率的關係

功率的定義為 $P=frac{dW}{dt}$

之前已提，對於定軸轉動物體有 $dW=Mdvarphi$

則 $P=frac{dW}{dt}=frac{Mdvarphi}{dt}$

由於角速度 $omega=frac{dvarphi}{dt}$ ，所以有 $P=Momega$

類比於物體平動時功率 $P=Fcdot v$ ，物體轉動時有功率 $P=Momega$ 。

不過其實我寫的打的也挺累的，給個贊吧~

啊這

考慮 $vec r imes vec F$

由牛頓第二定律：

$vec r imes vec F=vec r imes (frac{d}{dt}vec p)$

由求導法則：

$vec r imes vec F=frac{d}{dt}(vec r imes vec p)+vec p imes frac{d}{dt}vec r$

而最後一項可以變形成

$(m vec v) imes vec v=0$

因此

$vec r imes vec F=frac{d}{dt}(vec r imes vec p)$

定義 $vec r imes vec p=vec L$ 為系統的角動量，它的其中一個意義是質點矢徑掃過面積速度的大小（讀者自證），則

$vec r imes vec F=frac{dvec L}{dt}$

由此可以看出，力矩實際上對應一個轉動上的效果，一如力對應一個平動上的效果

（如果你把上式寫成 $vec M=frac{dvec L}{dt}$ ,對比 $vec F=frac{dvec p}{dt}$ ,可以看出 $vec F ightarrow vec M$ , $vec L ightarrow vec p$ ,兩者形式上是一樣的，因此你可以認為力矩就是轉動中的「力」)

而實際上，在剛體力學中，設角速度 $vec omega$ ，則

$vec M=frac{dvec L}{dt}=frac{d}{dt}(int_{}^{}(vec r imes(dm imesvec v)))=frac{d}{dt}(int_{}^{}(vec r imes(dm imes(vec omega imes vec r))))$

由矢量分析公式：

$vec r imes(vec omega imes vec r)=vec omegacdot(vec rcdotvec r)-vec rcdot(vec omega cdot vec r)=r^2vec omega-vec rcdot(vec r cdot vec omega)$

代入得

$vec M=frac{d}{dt}(int_{}^{}(dm imes(r^2vec omega-vec rcdot(vec r cdot vec omega))))$

引入慣量張量 $overleftrightarrow{I}$ , $overleftrightarrow{I}_{ij}^{}=int_{}^{}(dm imes (r^2delta_{ij}^{}-vec r_{i}^{}cdotvec r_{j}^{}))$ ,其中 $delta_{ij}^{}$ 是克羅內克爾記號，當且僅當 $i=j$ 時等於1，其餘時候等於0,則

$vec M=frac{d}{dt}( overleftrightarrow{I}cdot vec omega)$ ,這就是著名的剛體角動量定理，力矩之於轉動的效果也可見一斑

以上。

角動量是空間旋轉對稱性下的守恆量，動量是空間平移對稱性下的守恆量。（諾特定理）

力的時間累積效應對應了動量的變化量，力矩的時間累積效應對應了角動量的變化量。

那你就可以理解成力矩對應空間旋轉系下物體間的相互作用。

有些場合下力矩的地位就和力差不多，在轉動時會有所謂「力矩做的功」。

力矩能使物體有角加速度。

M=Jβ

正如

力能使物體有加速度。

F=ma

力矩x時間=角動量的改變數

Mt=ΔL

正如

力x時間=動量的改變數

Ft=Δp

力矩x角位移=做功

M·Δθ=W

正如

力x位移=做功

F·Δs=W

所以說

力矩相對於轉動

正如

力相對於平動