不定積分∫[arctan(x+1/1-x)]/(x^2+1)dx怎麼算?

02-26

$int frac{arctanleft(frac{x+1}{1-x} ight)}{x^{2}+1} d x$

樓上給的湊微分很強勢，關鍵是我注意不到，我這兒提供一個代換的思路

&-->

再給一個換兩次元的思路

-->

再給一解法

&-->

注意到 $ext{d}arctanleft(frac{1+x}{1-x} ight)=frac{1}{1+x^2} ext{d}x$

$int color{red}{frac{1}{1+x^2}}arctanfrac{1+x}{1-x}color{red}{ ext{d}x}=int arctanfrac{1+x}{1-x} color{red}{ ext{d}arctanfrac{1+x}{1-x}}=frac{1}{2}arctan^2frac{1+x}{1-x}+C$

「注意到」是因為以前做的一道題： $int_0^1frac{ln(1+x)}{1+x^2} ext{d}x$ .

$int_0^1frac{ln(1+x)}{1+x^2} ext{d}x=underbrace{int_0^1frac{ln 2-ln(1+t)}{1+t^2}}_{x=frac{1-t}{1+t}} ext{d}t=frac{1}{2}int_0^1frac{ln 2}{1+t^2} ext{d}t=frac{piln 2}{8}$

我寫一個最容易想到的寫法吧。因為 $frac{1}{x^2 + 1}$ 容易湊積分，所以拿它來湊，然後再分部積分。

$egin{aligned} I = int frac{1}{x^2 + 1} arctan frac{1 + x}{1 - x} dx = int arctan frac{1 + x}{1 - x}d arctan x \ = arctan x cdot arctan frac{1 + x}{1 - x} - int arctan x cdot frac{1}{1 + (frac{1 + x}{1- x})^2} (frac{1 + x}{1- x}) dx \ end{aligned} ag{1}$

其中，第二個式子

$egin{aligned} int arctan x cdot frac{1}{1 + (frac{1 + x}{1- x})^2} (frac{1 + x}{1- x}) dx = int frac{1}{1 + x^2}arctan x dx \ = int arctan x d(arctan x) \ = frac{1}{2} (arctan x)^2 + C_{1} end{aligned} ag{2}$

這一步其實就發現了 $d(arctan frac{1 + x}{1 - x}) = frac{1}{x^2 + 1}dx$ ，所以計算可以化簡到其他回答的注意到。（我是到這裡才注意到的哈哈哈）

於是

$I = arctan x cdot arctan frac{1 + x}{1 - x} - frac{1}{2} (arctan x)^2 + C$

arctan(1+x 除以1-x)＝arctan1 ＋arctanx，後面就是簡單的化簡...這個式子可以通過tan的兩角和去記憶，不過很少用到，最近正好做到....

$egin{align*} ~~~~~int frac{1}{1+x^2}arctan frac{1+x}{1-x}{ m d}x\=intarctan frac{1+x}{1-x}{ m d}(arctan x)\ =arctan xarctan frac{1+x}{1-x}-int frac{arctan x}{1+x^2}{ m d}x\ =arctan xarctan frac{1+x}{1-x}-int arctan x{ m d}(arctan x)\ =arctan xarctan frac{1+x}{1-x}-frac{1}{2}arctan^2 x+C. end{align*}$

$arctan A + arctan B=arctanfrac{A+B}{1-AB}$

$arctan A - arctan B=arctanfrac{A-B}{1+AB}$

用這兩個公式就可以看出:

$arctanfrac{1+x}{1-x}=arctan 1+arctan x\ (arctanfrac{1+x}{1-x})=(arctan 1+arctan x)=frac{1}{1+x^2}$

因此： $int frac{arctanleft(frac{x+1}{1-x} ight)}{x^{2}+1} d x=int {arctanleft(frac{x+1}{1-x} ight)}darctanleft(frac{x+1}{1-x} ight)=int u d u=frac{u^{2}}{2}+C=frac{[arctanleft(frac{x+1}{1-x} ight)]^{2}}{2}+C$