導數與微分的區別？

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謝邀~

為方便理解，拿一元實變函數的導數和微分定義來說。

一元實變函數導數的定義：

設一元實變函數 的定義域為 ，點 。

若極限 存在，則稱 在 處可導，並稱該極限為 在 處的導數，記為 。

但要注意的是，上式極限存在的條件是： 只有當自變數在 內沿任意路徑用任何方式趨於 時，上式均為同一個常數。

由於這裡給出的是一元函數，也可以簡化為只有左右極限相等的時候：

才能說 在 處可導。

一元實變函數微分的定義：

設 在處可導，令：

則有：

其中 ，並且當 時， 是 的高階無窮小量。而 是函數改變數 的線性部分。

稱 為函數 在 處的微分。

所以，如果函數 在 處的可導，那麼在 處的導數為 ，而函數 在 處的微分為 。兩者之間相差一個因子，即自變數 的微分 。

導數也可以寫為兩個微分（即函數的微分和自變數的微分）的比值：

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以上です。

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導數是瞬時變化率，而微分則是微小的變化量。

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會問這個問題，很明顯是搞混了，上面的答案都在說導數是什麼，微分是什麼，沒有說兩個的聯繫。

其實之所以會有混淆，就是因為微元Δy=y』* Δx + o（Δx），其中o（Δx）是Δx的高階無窮小，可以被省略。用語言說，就是微分可以用導數來表示。

說細一點：o（Δx）作為高階無窮小，在你對一個圖形做切分，且切的每一個部分都趨向無窮小的時候，高階無窮小會比低階無窮小先變成無窮小，所以它是一個雖然存在，但是無關緊要的量。把這個無關緊要的量省略，然後Δx移到左邊，就可以看出微分可以用導數來表示了。

本質上，把高階無窮小捨去，用導數乘以x的微元來表示y的微元，可以理解為對圖形的局部進行了以直代曲。捨去的那個無窮小是這個取代過程中的差，只是因為圖形在微分過程中被切的非常小（每個單位都趨於0），所以這個差也小到了極限，小到什麼程度？小到比那個被切的趨於0的單元還要小一個指數級。

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導數 變化率

微分 變化量

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對於一元函數來講，兩者從不同的角度得到相同的結果，導數，是割線的斜率的極限值，如果極限存在，那麼就可導，微分本質上是想用一次函數去逼近函數，如果這個逼近只相差一個一次高階無窮小，那麼就可微。然後咱們驚喜地發現可微和可導等價。

對於多元函數，導數和微分本質的含義沒有變。導數放到多元函數上，也就引申出了，偏導，方嚮導數，梯度等概念，本質還是割線斜率的極限。而微分放到多元函數上，就是全微分，本質也是用一個多元一次函數來逼近原函數。

在多元函數中，導數和微分相互聯繫，但是並不等價了。

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