原函數可導為什麼不能推出導函數連續？

原函數可導即左導=右導=A

導函數連續即左導函數值=右導函數值

又因為原函數某點左導就是導函數某點左邊的值

所以左導函數值=右導函數值=A

為什麼不對呀

導函數能推出連續才是一個需要證明的事情，因為連續是有定義的，導函數沒有明顯滿足連續的定義，那就需要證明，但我們可以找到反例，可導但導函數不連續的函數（例如含有sin（1/x）那種）。

不過雖然導函數不一定連續，但是導函數一定沒有第一類間斷點，其實這個性質已經很強了，同時這個性質也叫導函數的介值性。是的，不止連續函數有介值性，導函數天生就有。

瀉藥，我康了康其他人的回答，貌似都沒有說出推導根本問題所在和反例，那我就嘗試寫一寫~

用一句話概括，左導數不等於導數的左極限

反例是比較著名的

f(x)=x2sin(1/x)(x≠0)

= 0(x=0)

很明顯這個函數連續，但他的導函數在x=0的時候不連續。

問題出在哪裡呢？

還是那句話，左導數不等於導數左極限。

導數是個單點性質，考察左導數的時候定義域可以說就是0，和他的鄰域沒有關係。

而考察導數左極限的時候考察的對象是0的去心鄰域，反而和0沒有關係。

這就說明這兩者是沒有什麼必然的聯繫的！！

換個角度說，導函數如果不連續的話，他的斷點必須為第二類斷點，即至少一側導數極限不存在。

(反證法易得，如果兩側極限存在，分別寫出定義式，使用洛必達法則，即得到左導數等於右導數，等於該點導數等於兩側極限值，矛盾)

這說明了反例必須得有第二類斷點，而補充完定義後，使原函數連續，斷點處可導。求導後斷點處不連續即可~

希望對答主有幫助~

首先我感覺可能題主對概念有混淆，原函數在某點可導指的是原函數的在此點的左導數與右導數存在且相等，則稱原函數在此點可導且導數等於左右導數值。連續指的是對於函數 在某一點有定義且處極限存在，極限的值等於函數在此點的函數值，則此函數在此點連續。一個函數在此點的導數值並不等於他的導函數在此點的值。

對於原函數可導但其導數不連續我們可以舉出反例如

此函數在 時連續且可導，在 時也可導，且 ,但其導函數在其趨向於0時極限並不存在，所以不連續。

我們來看一個對於原函數可導其導函數一定連續的錯誤證明設函數在點處可導，則存在極限由Lagrange中值定理知：，使得將上式代入式中，同時注意當時被壓迫至，即有：則可得：，這說明導函數必定連續。

事實上，目前我們對於微分中值定理中的中值" "缺乏定量的考察，只是知道她位於區間 (在本題中即為 )，這說明在 的過程中， 的取值並不一定是連續的(當 然也有可能是連續的，但是那種情況太少了)，所以這裡的 其實應該看成一個數列 ，她在 的過程中被 壓縮到 。此時其對應的導數值數列 收斂於 ，而由僅僅一個數列對應的導數值數列收斂於 並不能說明導函數在點 處連續。

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參考文章：https://www.zhihu.com/people/lai-chuang-zhuan-ye-hu-9，作者：Tiffany

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又因為那裡錯了，對概念理解不清。

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1. 原函數可導即左導=右導=A（=A不對，可導等價於左導=右導）
2. 導函數連續即左導函數值=右導函數值（那個即不對，導函數連續等價：左導函數值=右導函數值=該點導函數值）
3. 又因為原函數某點左導就是導函數某點左邊的值（和第一句重複）
4. 所以左導函數值=右導函數值=A（不知道怎麼就所以了）

（假裝分割線）

第一句，你可能是因為一元可導必連續混淆了，條件是可導，能知道：

左極限=右極限=該點極限，左導=右導。

第二句，懷疑你的原文想表達的是：（如果）導函數連續，（有）左導函數值=右導函數值（=A），單獨看沒問題。

第三句上面說了，重複。

第四句，上面都錯完了，到這完全無厘頭。

總結一下：首先第一句改完你就沒有那個=A了不能直接對過來。其次，第二句的成立條件就是如果導函數連續，你用它最後證個導函數連續，循環論證。最後，這個A啊（導函數在該點的值），未必存在，如果導函數在這點無定義，更不可能連續。

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f（x）＝x的絕對值

在x=0處左右導數不等，所以在x=0處不可導

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預防針:工科數學水平

正常人能想到的一元函數(不分段的初等函數)確實都是定義域內1可導且連續，2導函數也可導且連續，3導函數的導函數也可導且連續........

但是它有個bug，也就是考慮上面的這個括弧，當初等函數搭配分段使用，這個事情就被搞得很噁心，又沒啥實際意義，就像文字遊戲一樣。

來自基友的神奇吐槽

那麼現在用抬杠法來構造滿足要求的一個函數：

基本想法是：

1x=x0是一個單獨的點，x=x0左邊是一個解析式f(x)，x=x0右邊也是一個解析式g(x)。

2f(x)和g(x)在x0處天然沒有定義，但f(x0-)=g(x0+)，f(x0-)=g(x0+)。（可見求導會損失信息）

假如f(x)=g(x)=xsin(1/x)，有f(0-)=0，f(0-)=？？gg

假如f(x)=g(x)=x^2sin(1/x)，有f(0-)=0，f(0-)=？？gg

假如f(x)=g(x)=x^3sin(1/x)，有f(0-)=0，f(0-)=0，ojbk

那麼這個沒有武德的函數是：

h(x)=x^3sin(1/x) (x不=0)；0 (x=0)

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「又因為原函數某點左導就是導函數某點左邊的值」 這句以及下一句是什麼意思能根據可導和連續的定義形式化表達下嗎。

事實上，非正式的說，導函數「基本上」是連續的，即至少在一個稠密集上連續。另外導函數雖然不一定連續但確一定滿足介值定理。

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導函數連續不等價於「左導數=右導數」。。。建議複習連續函數的定義

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