為什麼 ln(x) 的導數是 1/x？

01-03

因為這是定義： $ln xequivint_1^x{mathrm dtover t}$

當然如果我們僅僅把 $y=ln x$ 定義為 $e^x$ 的反函數，也可以這樣推：

$e^y=xRightarrow e^ymathrm dy=mathrm dxRightarrow{mathrm dyovermathrm dx}={1over e^y}Rightarrow{mathrm dovermathrm dx}ln x=frac1x$

這裡需要用到對數的定義和自然對數底數 $e$ 的極限結論。
首先，由導數定義有：
$f(x) = lim_{h o 0} dfrac{ln(x+h)- ln(x) }{h}$

注意對數運演算法則： $ln(a) - ln(b) = ln(dfrac{a}{b})$

於是
$f(x) = lim_{h o 0} dfrac{ln(dfrac{x+h}{x})}{h} = lim_{h o 0} dfrac{1}{h} ln(dfrac{x+h}{x})$

這裡再考慮另外一個法則： $a ln y = ln y^a$

於是：
$f(x) = lim_{h o 0} ln left(dfrac{x+h}{x} ight)^{dfrac{1}{h}} = lim_{h o 0} ln left(1+dfrac{h}{x} ight)^{dfrac{1}{h}} ag{1}$

做一個簡單的變數替換： $y = dfrac{h}{x}$ ， $h = y x$

於是

$lim_{h o 0} ln left(1+dfrac{h}{x} ight)^{dfrac{1}{h}} = lim_{y o 0} ln left(1+y ight)^{dfrac{1}{y x}}= lim_{y o 0} dfrac{1}{x} ln left(1+y ight)^{dfrac{1}{y}}$

這裡就要用到重要極限的結論： $e = lim_{y o 0} ( 1 + y) ^{dfrac{1}{y}}$

所以：
$lim_{h o 0} ln left(1+dfrac{h}{x} ight)^{dfrac{1}{h}} = lim_{y o 0} dfrac{1}{x} ln left(1+y ight)^{dfrac{1}{y}} = dfrac{1}{x} ln e = dfrac{1}{x}$
代回（1）式就得到：
$f^{prime}(x) = dfrac{1}{x}$

從導數的定義出發，求lnx的導數

（lnx）＝（ln（x+△x）-ln（x））/△x＝ln（（x+△x）/x）/△x＝ln（1+△x/x）/△x
ln（1+△x/x）～△x/x
原式＝△x/x/△x＝1/x
WDNMD手打累死了⌒0⌒

根據導數定義，有 $lim_{Delta x o 0} frac{ln(x+Delta x)-ln(x)}{Delta x}=lim_{Delta x o 0} frac{ln(1+ frac{Delta x}{x})}{Delta x}= lim_{Delta x o 0} frac{ {frac{Delta x}{x}}}{Delta x}= frac{1}{x}$
其中用到 $ln（1+x）sim x$
利用e的定義可證明
$lim_{x o 0}(1+x)^frac{1}{x}=e$
兩邊取對數
$frac{1}{x}ln（1+x）=1（x o0）$
$ln(1+x)=x (x o0)$

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