不確定關係是量子力學基本假設的推論。

量子力學中的態可以用與該系統相關的復希爾伯特空間內的單位向量 表示， 。而可觀測量是根據物理規律確定的自伴算符。設 是一個可觀測量， 為態且屬於可觀測量的定義域，則 為 在態 下的期望值，也就是所謂的量子力學平均值。觀察量 在態 下期望值的算術平方根為觀察量在態下測量的不確定度，可以用 表示。

然後我們考慮兩個滿足 的自伴算符，它們沒有公共的特徵向量，所以不能在同一態下精確測量，則有： 。這就是不確定關係的一般表述。

我們讓對易關係的兩邊同時作用在 上，所得的向量再和態矢內積，考慮兩個算符對稱性：

然後取一個實參量 ，根據施瓦茨不等式：

然後以 表示兩個量在 下的期望值，於是有：

然後考慮 ，考慮（2），上式右端中間項變成 。利用（1）代入（4），有：

上式對所有 都成立則左端二次多項式判別式不大於零，即：

於是不確定關係成立。

首先告訴題主結論：不確定性關係並不是儀器精度的問題，而是算符不對易造成的。

直觀上講，如果僅知道某一時刻某一物體的位置，是無法確定其速度的，反之亦然。

接下面就是一些教科書上的東西了，默認題主知道算符對易的概念。

假設算符 和 的對易關係為

用 分別表示 在態 的期望，同時令

，

考慮積分

其中 ，積分區間取遍整個空間，對積分式的平方項展開

注意到 和 都是厄米算符（自證）

而

即

上式成立當且僅當

對於不對易的算符 和 ，

例如對於坐標和（對應坐標方向的）動量

顯然有

不確定性原理……不確定？我們又一次遇到了這個討厭的詞。還是那句話，這個詞在物理學中是不受歡迎的。如果物理學什麼都不能確定，那我們還要它來幹什麼呢？

我們這就回到 1927 年 2 月，那個神奇的冬天。過去的幾個月對於海森堡來說簡直就像一場惡夢，越來越多的人轉投向薛定諤和他那該死的波動理論一方，把他的矩陣忘得個一乾二淨。海森堡當初的那些出色的論文，現在給人們改寫成波動方程的另類形式，這讓他尤其不能容忍。他後來給泡利寫信說：「對於每一份矩陣的論文，人們都把它改寫成『共軛』的波動形式，這讓我非常討厭。我想他們最好兩種方法都學學。」

但是，最讓他傷心的，無疑是玻爾也轉向了他的對立面。玻爾，那個他視為嚴師、慈父、良友的玻爾，那個他們背後稱作「量子論教皇」的玻爾，那個哥本哈根軍團的總司令和精神領袖，現在居然反對他！這讓海森堡感到無比的委屈和悲傷。後來，當玻爾又一次批評他的理論時，海森堡甚至當真哭出了眼淚。對海森堡來說，玻爾在他心目中的地位是獨一無二的，失去了他的支持，海森堡感覺就像在河中游水的小孩子失去了大人的臂膀，有種孤立無援的感覺。

不過，現在玻爾已經去挪威度假了，他大概在滑雪吧？海森堡記得玻爾的滑雪水平拙劣得很，不禁微笑一下。玻爾已經不能提供什麼幫助了，他現在和克萊恩抱成一團，專心致志地研究什麼相對論化的波動。波動！海森堡哼了一聲，打死他他也不承認，電子應該解釋成波動。不過事情還不至於糟糕到頂，他至少還有幾個戰友：老朋友泡利，哥廷根的約爾當，還有狄拉克——他現在也到哥本哈根來訪問了。

不久前，狄拉克和約爾當分別發展了一種轉換理論，這使得海森堡可以方便地用矩陣來處理一些一直用薛定諤方程來處理的概率問題。讓海森堡高興的是，在狄拉克的理論里，不連續性被當成了一個基礎，這更讓他相信，薛定諤的解釋是靠不住的。但是，如果以不連續性為前提，在這個體系里有些變數就很難解釋，比如，一個電子的軌跡總是連續的吧？

海森堡儘力地回想矩陣力學的創建史，想看看問題出在哪裡。我們還記得，海森堡當時的假設是：整個物理理論只能以可被觀測到的量為前提，只有這些變數才是確定的，才能構成任何體系的基礎。不過海森堡也記得，愛因斯坦不太同意這一點，他受古典哲學的熏陶太濃，是一個無可救要的先驗主義者。

「你不會真的相信，只有可觀察的量才能有資格進入物理學吧？」愛因斯坦曾經這樣問他。

「為什麼不呢？」海森堡吃驚地說，「你創立相對論時，不就是因為『絕對時間』不可觀察而放棄它的嗎？」

愛因斯坦笑了：「好把戲不能玩兩次啊。你要知道在原則上，試圖僅僅靠可觀察的量來建立理論是不對的。事實恰恰相反：是理論決定了我們能夠觀察到的東西。」

是嗎？理論決定了我們觀察到的東西？那麼理論怎麼解釋一個電子在雲室中的軌跡呢？在薛定諤看來，這是一系列本徵態的疊加，不過， forget him ！海森堡對自己說，還是用我們更加正統的矩陣來解釋解釋吧。可是，矩陣是不連續的，而軌跡是連續的，而且，所謂「軌跡」早就在矩陣創立時被當作不可觀測的量被拋棄了……

窗外夜闌人靜，海森堡冥思苦想而不得要領。他愁腸百結，輾轉難寐，決定起身到離玻爾研究所不遠的 Faelled 公園去散散步。深夜的公園空無一人，晚風吹在臉上還是凜冽寒冷，不過卻讓人清醒。海森堡滿腦子都裝滿了大大小小的矩陣，他又想起矩陣那奇特的乘法規則：

p×q≠q×p

理論決定了我們觀察到的東西？理論說，p×q≠q×p，它決定了我們觀察到的什麼東西呢？

I×II 什麼意思？先搭乘 I 號線再轉乘 II 號線。那麼，p×q 什麼意思？p 是動量，q 是位置，這不是說……

似乎一道閃電划過夜空，海森堡的神志突然一片清澈空明。

關於動量-位置的不確定性關係

這是實驗得來的、符合實驗的解釋，受過質疑，但也經受住了考驗。具體要問是什麼實驗，就是單縫電子衍射實驗。

技術上來說，有算符內積時不可交換順序作為支持。

關於能量-時間的不確定性關係

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因為量子力學是以時間來描述狀態的演化，所以關於時間的不確定性原理頗具思考價值。

其實這個問題也曾經困惑了我很久。學完第一遍量子力學之後，大部分時間都花在了看書的數學推導上，也就理解那些積分還有算符的計算、推導過程，但這並不是我想要的那種清晰明了的物理。後來學了很多遍才發現其實這也很自然，因為物理現象從一開始就只是一個可以復現的規律，然後才是慢慢的摸索出了一些套路，才會有一定的數學表達，最後由理論家們升華/找到對應的一個特定的數學結構。

所以，我盡量不用數學語言來描述這個過程（雖然數學是最清楚、直白、沒有歧義的，另外也是因為具體的數學推導很多教科書，或是下面知友都寫了，我就不贅述了），而是試著從物理概念的角度來表述。因此，這個答案一定會在不同的人看來有不同的理解。我盡量遣詞造句上注意一些。

這裡的物理其實就是代表位置的算符和代表動量的算符不對易造成的。而在量子力學中，如果兩個算符不對易，也就意味著其各自有一套自己的本徵態。儘管他們描述的是相同的線性空間，但在轉化過程中，會有一個算符的本徵態向另一個算符的本徵態的映射，而這個映射就包含了一定的概率。所以，一旦觀測位置算符，波函數探索到位置算符的一個本徵態上之後，想要觀測不對易的動量算符，就會發生位置算符的某個本徵態向動量算符本徵態的第二次坍縮。而這個坍縮過程中是有不確定性的。所以假設你準確的知道了粒子的位置（即觀測到了某個本徵態對應的本徵值），你是沒有辦法準確知道其準確的動量的，因為它不會百分百坍縮到某個動量的本徵值對應的本徵態上。所以你如果每觀測到了一個特定的位置x0，在這之後測量其動量，會得到幾個不同的動量觀測結果，即坍縮到了不同的動量本徵態上。

但如果兩個算符對易，比如自旋和自旋z分量，就可以理論上同時準確知道兩者，因為他們共享一套本徵態。

以上只是定性的解釋了為什麼不能同時準確的知道粒子的動量和位置。那麼進一步的問題來了，如果不能同時準確知道二者，但其實二者是有相互關聯的，那麼我們能知道什麼呢？我們如果準確知道其中另一個量，另一個量有多不準確呢？這個時候，就需要引入不確定度算符等物理概念，和線性空間中模等定義，用數學定量計算了。參考 @睎xii 的回答https://www.zhihu.com/question/294223180/answer/859304005