可以找到兩個質數，他們的比值最接近 π 嗎？

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如題。
幼兒園版本：可以找到最接近 π 的兩個整數之比嗎？

有人證明了兩個素數相除也是稠密的。。。

Using Quotient of Prime Numbers to Approximation Reals?

mathoverflow.net

所以任給一個實數x&<π，必然能在(x, π)區間內找到一對素數P,Q使得 $x < frac{P}{Q} < pi$

所以答案是否定的。

最高票答案的素數之比稠密並不是多難證明的問題，這就是個素數定理的簡單推論，評論里不能寫公式，單寫一下證明吧：

素數定理 $lim_{x oinfty}{pi(x)over x/logx} = 1$

給定任意正數 $epsilongt0$ ，都有：

$lim{pi((1+epsilon)x)over{pi(x)}} = lim{(1+epsilon)x /log(1 + epsilon)xover x/logx} = lim{(1 + epsilon)logxover{log(1+epsilon) + logx}} = 1 + epsilon$

極限大於1，說明只要x足夠大， $x$ 和 $(1 + epsilon)x$ 之間必然有至少一個質數。

利用這個，對於任意正實數a，給定任意鄰域大小 $delta$ ，找一對素數p,q滿足 $|p/q - a| < delta$

怎麼找，很簡單，轉換一下： $aq-qdelta lt p lt aq + qdelta=aq(1+delta/a)$

所以根據前面的結論，只要aq足夠大（先找一個足夠大的質數q）， $aq$ 和 $aq(1+delta/a)$ 之間必然有一個質數p，證畢。

Mathematica對於該問題的解答

首先其他答主已經說明了，質數的比值是稠密的，因此顯然答案是否定的（可以仿照極限的定義）。而整數與整數的比值，是有理數， $π$ 是無理數，因此兩質數之比可以無限逼近 $π$ 卻不能與之相等。現用Mathematica探討此問題。首先，只要有一個給定的「精度預期」，必然可以找出在該精度範圍內最接近 $pi$ 的質數比值。需要說明的是，這個「精度預期」可以用分子的最大或分母的最大值來定義。鑒於答主極Low的Mathematica水平，這裡採用比較易於編寫的分子最大值為例。

先給出完整的代碼

FractionList[x_] := Table[Prime[x]/Prime[n], {n, 1, x}] p[x_] := Flatten[ Position[Abs[FractionList[x] - Pi], Min@Abs[FractionList[x] - Pi]]][[1]] MinLossFraction[x_] := FractionList[x][[p[x]]] ApPiList[x_] := Table[MinLossFraction[n], {n, 1, x}] MP[x_] := ApPiList[x][[Flatten[ Position[Abs[ApPiList[x] - Pi], Min[Abs[ApPiList[x] - Pi]]]][[1]]]]

大致的思路是：先找出以第 $x$ 個質數為分子， $x$ 以內所有質數為分母的所有比值構成的List，然後再與 $pi$ 作差，取絕對值。選出差最小的那一項所對應的比值。然後取一定範圍以內的所有質數重複以上操作，再從中取最小值對應的比值即可

運行示例如下：