學好數學的關鍵在哪裡？怎樣確定自己確實學懂了數學，而不是似懂非懂？

很多人在學數學尤其是高等數學時，有這樣的感受：明明感覺自己弄懂了，可是遇到新問題，往往又束手無策。有沒有什麼辦法檢測自己確實學懂了某個數學知識點，窮舉法、無限做題法除外。高等一些的數學學習，關鍵在哪裡？

分三步，找共性，找特徵，找特徵的作用。

1.找共性

這一步很關鍵，你「感覺自己弄懂了」，說明你很有可能找到現在的知識點和以前熟悉的知識點之間的共性，可以用以前熟悉的方法來解決新的問題，這會形成一種豁然開朗的錯覺。但其實僅僅完成了1/3。

不過這是必須經歷的一步，很多人只知道死記硬背公式，根本產生不了自己已經懂了的感覺，達到這一步已經超越一批人了。

2.找特徵

仔細識別現有知識點與以前知識點的差別，對這種差別進行強化記憶，如果忽視差別，可能會出現那些需要利用新特徵的知識無法解決的問題。完成了這一步，意味著完成了認知過程的2/3。

3.找特徵的作用

之所以生成新的知識，是因為他能夠解決舊知識解決不了的問題，你需要刻意注意到新知識能解決哪些新問題，注意這個「新」字。換句話說，這個知識的目的是什麼？

這一步，好的教材會直接告訴你，不好的教材，你只能在習題中自我摸索。另外值得注意的是，特徵的目的千千萬，這一步你永遠也玩不成。

共性、特徵、作用三位一體，你對知識的掌握基本算是合格了，往通向滿分的道路，就是不斷積累罷了。

大量練習，深入思考，舉一反三，不恥下問，勤而好學。

這與數學在19世紀末，20世紀初的發展有關，在西方那時由於集合論的危機，促進了數學公理化的進一步發展，於是在數學教育界，就展開了從公理化的數學入手，進行數學教育的改革，這也是形成今天許多教科書內容結構的原因，但是，這場改革經過幾十年的運行，效果卻不好，於是在上個世紀中末就放棄了，而且沒有給出替代方案。所以有了今天的數學教育：教育局出個大綱，課本由各個學校決定，各個學校水平參次不平。由於AI的迅猛發展，我們的孩子如果不能掌握好數學，就不能掌握好科學、高科技，將來就會和社會脫節，那麼如何才能從根本上掌握數學呢？

有人選擇了刷題的方法，此法雖然見效快，但卻不能真正掌握數學，也缺乏創造性培養。

有人選擇課外補習，此法雖說能幫孩子拿高分，畢竟存在取巧的成分，為在將來的AI中競爭埋下了隱患。

學數學還得扎紮實實地把從古至今的數學思想和技巧及其演變過程搞明白，這樣才能站在巨人的肩上，開始創造性的工作。

古今中外數學網（gjzwmath）就是遵循數學的發展過程，把初等數學的主要對象：數和形的重要發展環節，使用精美可動的圖形展示出來，形象地幫助讀者理解它們。小學生可以根據網站提供的方法動手作圖，動手計算，通過動手來理解基本代數和平面幾何概念，培養學生的 math sense。初高中生可以通過可以移動、變化圖形，來懂得數學概念和工具的形成過程，明白數學的實質是什麼。如果孩子不能讀中文，由家長讀了講給孩子，在教孩子的過程中，也提升了自己。

就看這樣的知識點習題你會不會做，會就掌握了。不會就沒有掌握。關鍵在於每次做完一道題後反思，反思這道題考了幾個知識點，如果是哪個知識點沒想到，要多運用這種知識點。

在數學中，沒有直接求解公式 定理的是非標準形式，而課本上明確給出對應公式 定理的是標準形式，而數學解題思維中很多用的都是「化非標準形式為標準形式去求解」，由於標準形式已知解法 那麼如果能夠將題中形式化成標準形式就可以直接套公式求解了。有了化非標準為標準的思維意識很關鍵，當然之後還要掌握」如何非標準轉化成標準「的方法。

這裡本人分享一些常用的非標準轉化成標準的方法

1.複合形式分解成基本的標準形式

標準形式通常是至簡的基本形式，而由多個標準形式進行複合（比如+-運算）則可得到複合形式，複合形式沒有直接的求解公式，但其有基本形式構成，咱可以將複合形式分解出構成的基本形式，每個基本形式逐一求解 不就完成整體解答了。

例子：求梯形的面積？前提是目前還未學到梯形的面積公式，即不能直接用梯形面積公式求解，但可用三角形面積公式。

不可用梯形面積公式，那麼此時的梯形則是個非標準形式的圖形 沒有直接求面積的公式，但根據非標準即複合通常可分解成基本形式，可嘗試去化梯形為一些基本圖形的運算生成，根據題目三角形是基本形式，試著用三角形運算得到此梯形，發現梯形2斜邊延長後得到整體大三角形和頂部小三角形，而梯形面積剛好等於大三角形面積-小三角形面積，代入相應數據求得梯形面積。

2.用比較相似的標準對象-差別

有些題目形式與標準形式看上去很像 但卻就差那麼一點，這時通常可以化成標準形式-差別=題目形式，由於標準形式可求解 且差別部分通常也是標準形式，所以2個標準形式運算可直接求解。

例子：99*12=？

此題即可以直接乘法列算式求，也可以用一種更簡便的方法，即99 *12=(100-1)*12=100 *12-12=1188,思路：99與100這個標準化數值較接近即相似，因此可以試著將99轉化成100-差別的模式，標準化數值乘法較易計算 由此讓計算變得簡便。

其實本法也屬於複合分解為基本，常提的構造法其實都屬於這種方法。

學好數學的關鍵是:多做多問，不留疑問。

真正懂數學的標誌是:知道每個定理的證明，知道知識點的相互關係，最後，會做絕大部分自己看到的題

沒啥天賦的人學數學，就是這樣。

聰明的人，聞一知十、舉一反三。天資一般的，也就是比記憶力，多做題，預期下一題可以套前面做過的。

這是一個好問題。

這個問題也引起了我的思考。

(此回答僅針對做題，不涉及數學素養。）

拿我個人舉例吧，

我學習數學的過程中，容易犯一個錯誤，就是一個數學概念，聽老師講了一遍，或者看了一會書，就以為自己學懂了，然後就自滿了。

我的這種想法其實是非常危險的。因為我沒有去通過做題強化我對這個數學概念的理解。我只是主觀想像我學明白了，導致一種學明白了的錯覺。這種錯覺，其實相當危險，在一些重大考試中，這個缺點的嚴重後果就顯而易見了。

本來分數可以上130的，卻只有110。

這是我在學習數學的過程中，最致命的弱點。我也相信，有很多的同學都會有這種體驗，因為我們覺得，我數學不差，聽懂這個概念輕而易舉，但往往就是這個想法害了我們。

我們沒有謙虛的去把一個數學概念學懂，只是把一個數學概念粗糙的理解了，導致我們在做題的過程中出現，這個題我明明會，可我就是不能做全對。

這就是我們與那些真正的學霸的差距所在。

我觀察了學霸的學習，學霸學習數學的時候，他們會非常細心和嚴謹，對一個數學概念特別死摳，會結硬寨，打呆仗。把一個數學概念學得特別懂。

這是我這個偽學霸值得學習的地方。

我這個人，缺乏耐心，但也還好啦。

所以，我在學習的時候，只顧注重了速度，卻嚴重忽略了質量，這也是導致我與別人在學習數學的時候，產生差距的一個重要原因。

那我們如何改變呢？

我有以下幾點建議：

1、做基礎題5——8個左右。

理解基礎的數學概念，熟練運用數學概念解題。

2、做中等偏上難度題8——10個左右。

強化對基礎數學概念的深知，達到靈活應用。

3、進行總結。

這一步是比較難的，真正能夠把這一把給做好，我相信，數學的解題能力是大多數人滿以比擬的。

當然，我也還需要提高。

以上