E=MC2是廣義相對論還是狹義相對論?

11-04

狹義相對論
在整個相對論（廣義相對論）中，表明「存在」（能動量）的物理量是能動張量
$T^{ik}= ho_0c^2u^iu^k$
其中 $T^{00}sqrt{-g}$ 代表能量密度，這裡 $g$ 是度規張量 $g_{ik}$ 的行列式

可以推導，在瞬時局部慣性系中
$T^{00}sqrt{-g}= ho_0c^2frac{1}{sqrt{1-v^2/c^2}}frac{1}{sqrt{1-v^2/c^2}}$
$=frac{Delta m_0}{Delta V_0}c^2frac{1}{sqrt{1-v^2/c^2}}frac{1}{sqrt{1-v^2/c^2}}$
$=frac{Delta m_0c^2/sqrt{1-v^2/c^2}}{Delta V_0sqrt{1-v^2/c^2}}=frac{Delta mc^2}{Delta V}$
因此，只有在瞬時局部慣性系中，物質總能才符合質能方程表達式，這是由於在閔氏慣性度規下，能量密度表達式退化出的形式。

都是，無論是廣相還是狹相，觀者測得的不含引力勢能的總能都是 $E=gamma m$
設觀者四速為 $Z^{a}$ ，質點四動量為 $P^{a}=mU^{a}$ ，
定義^[1]^[2] $E=-P^{a}Z_{a}=-mU^{a}Z_{a}$ ，令 $gamma=-U^{a}Z_{a}$ ，則可寫成 $E=gamma m$
下面確定 $gamma$ 的值：在觀者的正交共動系 $left{ t，x^{i} ight}$ 計算，有 $gamma=-g_{00}Z^{0}U^{0}$ ，
由觀者四速歸一得： $g_{00}Z^{0}Z^{0}=-1$ ，解得 $Z^{0}=frac{1}{sqrt{-g_{00}}}$

由質點四速歸一得 $g_{00}U^{0}U^{0}+g_{ij}frac{dx^{i}}{d au}frac{dx^{j}}{d au}=-1$ ，（這裡的 $au$ 是質點的固有時）
此式可借 $frac{dx^{i}}{d au}=frac{dx^{i}}{dt}frac{dt}{d au}=frac{dx^{i}}{dt}U^{0}$ 寫成
$left( g_{00}+g_{ij}frac{dx^{i}}{dt}frac{dx^{j}}{dt} ight)left( U^{0} ight)^{2}=-1left( 1 ight)$
第一個括弧裡邊的第二項很像是質點相對觀者三速度大小的平方，可惜不是，
因為這個 $t$ 是觀者共動系的坐標時而非觀者的固有時，故要做一個變換^[3]：
觀者世界線上有 $ds^{2}=-d au^{2}=g_{00}dt^{2}$ ，其中 $au$ 是觀者的固有時
由此式可得 $g_{ij}frac{dx^{i}}{dt}frac{dx^{j}}{dt}=g_{ij}frac{dx^{i}}{d au}frac{dx^{j}}{d au}frac{dt^{2}}{d au^{2}}=-g_{00}u^{2}left( 2 ight)$
其中 $u^{2}=g_{ij}frac{dx^{i}}{d au}frac{dx^{j}}{d au}$ 是質點相對觀者的三速度大小的平方
$left(2 ight)$ 式代入 $left(1 ight)$ 式得 $g_{00}left( 1-u^{2} ight)left( U^{0} ight)^{2}=-1$ ，解得
$U^{0}=frac{1}{sqrt{-g_{00}}}frac{1}{sqrt{1-u^{2}}}$

將以上計算出的 $Z^{0}$ 和 $U^{0}$ 代入 $gamma=-g_{00}Z^{0}U^{0}$ ，得 $gamma=frac{1}{sqrt{1-u^{2}}}$
綜上，用 $E=-P^{a}Z_{a}$ 定義的 $E$ 滿足質能方程 $E=gamma m$ ，其中 $gamma=frac{1}{sqrt{1-u^{2}}}$
我們全程計算並未指定度規與參考系，故此式可適用於任意時空的任意參考系，
（不考慮特殊的帶有扭轉 $omega_{ab}$ 的參考系）即完成了質能方程到廣義相對論的推廣
注意在廣相中， $u$ 作為三速度大小一般不等於三速度分量，
這是和一般常見的狹義相對論中的質能方程不同的地方
另外需要注意，這個總能不包括引力勢能^[4]

參考

^《微分幾何入門與廣義相對論》上冊P159

^《微分幾何入門與廣義相對論》上冊P312

^sagnac效應的計算：愛因斯坦轉盤系的一個應用 https://zhuanlan.zhihu.com/p/107162118

^廣義相對論中質能方程的確定 https://zhuanlan.zhihu.com/p/109006337

這個公式連物理都算不上，所以都不用區分是哪個相對論。
M不管實際意義是什麼，無非兩種含義：

1、M表示靜質量。這個是物質本身的固有屬性，與觀察者無關。可E是一個觀察量，E的數值是跟觀察者有關的，讓一個觀察量=非觀察量，愛因斯坦的物理得差勁到什麼程度？
2、M表示動質量。動質量跟觀察者有關了，但現在新的問題是，動質量跟能量根本不需要進行區分，從概念簡潔性上來說，只有一個能量概念就夠用了，根本就不需要再引入一個動質量的概念。所以，這個公式可以看做定義動質量的廢物公式，毫無意義。
但就是這麼一個荒唐的公式，居然成了談物理必提的式子，為什麼會這樣？
答案也簡單。數學上，時空的變換群改了，速度的定義也應該跟著改，可愛因斯坦那時候不懂啊，愛因斯坦找到了新的速度公式，可為了沿用舊的速度定義，愛因斯坦硬生生把這個新的速度公式給拆成了2部分，一個部分是速度V，剩餘的那部分沒地方去，就給乘到了靜質量上頭，生造了一個動質量的概念。
後來廣義相對論里，已經不這麼搞了，可狹義相對論留的坑，過了100多年都沒填。

質能方程現在一般都認為是源於狹義相對論，但是如果你看愛因斯坦的原著，你會發現係數c∧2的來由並沒有說清，這是一個不知道怎麼解釋的問題，而且，波恩在《我們這一代的物理學》里寫道：「」尤其是質能方程式的得出，在當時引起了極大的爭議「」。如果你看網路，可以很容易的搜到「物理-思想的天堂」的物理文章，這裡給你一個他的文章推導出來的質能方程，僅作為參考和思索：
根據牛頓力學，一個質量為m的物體在一個引力場中的總能量等於動能與勢能之和。我們要使這個運動的物體達到光速才意味著使這個物體的全部質量轉化為完全的能量。使物體達到光速就意味著吸引體必須達到史瓦西半徑，即黑洞。這樣，得到公式：
E = E動 + E勢 = mv2 /2+ KmM/R
把史瓦西半徑R = 2KM/C2 代入上式得：
E = mv2 /2+ KmMC2/2KM = mv2 /2+ mC2/2

當物體m到達史瓦西半徑那一刻，也即意味著到達了光速，它的動能公式里的v變為C，於是得到公式：
E = mC2 即質能關係轉化公式
這個動力學推導，其基礎原理就是黑洞的逃逸速度是光速，那麼到達黑洞的邊界就達到了逃逸速度。還有就是光速是光（能量）所具有的唯一性，絕對性。（這點是該量子空間理論的特別設定），這是一個基於經典牛頓力學的的質能轉化公式推導。特別說明的是，史瓦西半徑可以從相對論和經典牛頓力學導出相同的公式，但是如果以牛頓力學理解，半徑處質點達到光速而進入黑洞，如果以相對論理解，因時間決定於速度，如果進入黑洞過程中到達視界，速度接近了光速，時間則變得無比緩慢，質點進入黑洞也許慢的一萬年才走一厘米。廣義相對論完全去掉了引力的能量，而變換為時空的彎曲。

這是狹義相對論與洛倫茲變換推導出來的。

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※簡單的說，相對論到底講了些什麼？

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