偶函數的導數一定是奇函數嗎？

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首先偶函數處處可導嗎？

比如 ,在 處不可導，因此也沒有導函數，更不用說導數是否為奇函數。

但是如果偶函數處處可導，則有以下推導：

由偶函數定義

左右兩邊同時求導

即 ,說明偶函數的導數一定是奇函數。

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有人能證明奇函數的導數一定是偶函數嗎？

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我們設F(x)為一處處可導之偶函數，且導函數是f(x)。

則依題，可列F(x)=F(-x)，再可設g(x)=-x，g(x)求導後顯而易見是-1。

則F(x) = F(g(x))

兩邊同時求導

f(x) = f(g(x))g(x) = -f(-x)#

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如果可導，偶函數求導必然是奇函數

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