為什麼對數函數的泰勒展開式要用ln（x+1）而不用lnx？

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其實不太影響的，因為考慮到了 $ln(x+1)$ 的方便性。
這裡寫成了冪級數展開，泰勒展開的話，形式上的話，寫到第 $n$ 項，然後加個余項就可以了
在我們對於常見基本函數進行冪級數展開之後，對於這個函數就可以利用一般推導得到的結論了：
因為我們知道

$當|x|<1時，frac{1}{1+x}=frac{1}{1-(-x)}=sum_{n=0}^{infty}(-x)^{n}$
而對於 $ln(x+1)$ 求導就是 $frac{1}{1+x}$ ,所以原函數的冪級數展開就是：
$當|x|<1時，\ ln(x+1)=intfrac{1}{1+x}dx\=intfrac{1}{1-(-x)}dx=intsum_{n=0}^{infty}(-x)^{n}dx\=sum_{n=0}^{infty}int(-x)^{n}dx=sum_{n=0}^{infty}-frac{1}{n+1}(-x)^{n+1}\ =sum_{n=1}^{infty}-frac{1}{n}(-x)^{n}$
如果用 $ln(x)$ 來推導，基本類似，主要是利用了 $ln(x+1)$ 求導性質好而已。
兩個本質沒有區別，做個平移而已：
$當|x-1|<1時，\ ln(x) =sum_{n=1}^{infty}-frac{1}{n}(1-x)^{n}$

上面川大的朋友已經說得很對了，補充一丁點。
其實個人一直覺得用 $ln(1-x)$ 才是最方便的。
當 $|x|<1$ 時：

首先考慮它的一階導：

$(ln(1-x))^prime=frac{-1}{1-x}$

而注意到
$frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+ldots=sum_{n=0}^{infty} x^{n} ag{1}$
再由收斂級數一致收斂可以逐項積分：
$ln(1-x)=-intfrac{1}{1-x}dx$
$intfrac{1}{1-x}dx=sum_{n=0}^{infty} int x^{n}dx=sum_{n=0}^{infty} frac{x^{n+1}}{n+1}dx+C=sum_{n=1}^{infty} frac{x^{n}}{n}+C$
於是：
$ln(1-x)=-intfrac{1}{1-x}dx =-sum_{n=1}^{infty} frac{x^{n}}{n}-C$

考慮 $x=0$ 時，

$ln(1-0)=ln1=0$
因此
$-sum_{n=1}^{infty} frac{0^{n}}{n}-C =0-C=0$

所以
$ln(1-x)=-sum_{n=1}^{infty} frac{x^{n}}{n} ag{2}$
這個看起來長，但只要知道(1)式，計算量就特別小。

問題里提到的兩個函數可以直接這樣變形:

$ln(1+x)=ln(1-(-x))$
$ln(x)=ln(1-(1-x))$
再套回(2)式即可得到它們的展開式。

由（1）還可以各種花式玩法:

比如它自己的一階導數：
$egin{aligned} frac{1}{(1-x)^{2}} =frac{d}{d x}left(frac{1}{1-x} ight) \ =frac{d}{d x}left(sum_{n=0}^{infty} x^{n} ight) \ =sum_{n=1}^{infty} n x^{n-1} end{aligned}$
再比如求：
$frac{1}{1+x}=frac{1}{1-(-x)}=sum_{n=0}^{infty}(-x)^{n}=sum_{n=0}^{infty}(-1)^{n} x^{n}$

許多能轉換為類似形式的函數的Taylor公式都可以用類似方法來推導。
當然，推導過程中也一定要注意收斂域！

配合麥克勞林展開，研究的時候都傾向於研究0附近，因為式子簡單，不在0附近的做平移就行了，所以lnx在0處沒有定義

用 lnx 的泰勒展開也可以 .
只不過這時要在點 x=1處展開了。
實際上，ln(1+x) 和 ln(x) 沒什麼大的區別，只是做了一個坐標的平移，將 y 軸向右平移了一個單位而已 .

在極限計算這一塊，只有無窮小才可以用泰勒展開式計算極限。一般書上給的公式都是x→0時的公式，而lnx在x→0時＝負無窮，不是無窮小。而ln(1+x)是無窮小，所以用ln(1+x)。
而事實上這種泰勒公式實質上就是是把函數展開成冪級數。展開時要保證要保證展開式和原函數的差值是無窮小。而冪級數在x＝0處一定是收斂的。所以無法在x→0處表示一個無窮大的量。

數學家都喜歡簡潔的公式，喜歡美觀，如果寫成ln(x+1)會更加的好看

因為lnx無法做麥克勞林展開

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