如何證明不確定原理？

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不確定性原理 - 科學百科?

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不確定性原理（Uncertainty Principle），早期也譯作測不準原理，由海森堡於1927年提出^[1]，不確定性原理表明，對於一個微觀粒子，其位置與動量不能同時具有確定值，兩者標準差的乘積必然大於一個常數。更一般的，如果兩個觀測量的算符是不對易的，則其不能同時取確定值。

不確定性原理是量子物理的最重要最基本的原理之一，它指出了我們使用經典粒子概念的一個限度^[2]。

1、理論介紹

1.1簡介

不確定性原理由海森堡在1927年的論文中首次提出，該原理指出，對於一個微觀粒子，其位置與動量不能同時具有確定值，其位置信息的準確度越高，則所能得到的動量準確度的上限越低，海森堡通過對高斯型波函數的分析得到：

$sigma_x sigma_p sim hbar$

其中 $sigma_x$ 、 $sigma_p$ 分別為位置和動量的標準差， $hbar$ 為約化普朗克常數。

不久後，肯納德（Earle Hesse Kennard）^[3]和外爾（Hermann Weyl)^[4]根據德布羅意關係和玻恩對波函數的統計詮釋基礎上證明了:

$sigma_x sigma_pgeq hbar/2$

更一般的，對於兩個觀測量的算符 $hat{A}$ 、 $hat{B}$ ，其標準差的乘積滿足：

$sigma_A^2 sigma_B^2 geq (frac{1}{2i}langle [hat{A},hat{B}] angle)^2$

1.2 意義

不確定性原理表明，微觀粒子的位置和通量不能同時具有確定的值，其本質上是由於微觀粒子的存在形式由波函數來描述，因此宏觀世界中的位置、動量等概念是不適用的，正如對一列波而言，討論某一位置x處的波長是沒有意義的，因為波長是與整個波動相關的概念，實際上，在波動力學中類似的不確定性原理以為人熟知，一個函數與其傅里葉變換函數的展寬互相制約，該函數的展寬越寬，則其傅里葉變換函數的展寬就越窄，而一個微觀粒子動量表象和坐標表象下的波函數互為傅里葉變換，可見，不確定性原理是物質波動性的體現，尺度越小時，物質的波動性越強，量子效應也就越強，因此不確定性原理告訴我們經典粒子概念使用的一個限度，這個限度可以用約化普朗克常數來表徵，當時，量子力學將回到經典力學，或者說量子效應可以忽略^[2]。

1.3 不確定性原理的證明

^[5]對於兩個觀測量的算符 $hat{A}$ 、 $hat{B}$ 和物質波函數 $Psi$ ，定義:

$fequiv(hat{A}-langle A angle)Psi$

$gequiv(hat{B}-langle B angle)Psi$

其中 $langle A angle$ 、 $langle B angle$ 表示兩個觀測量的平均值。

則兩個觀測量標準差為：

$sigma_A^2 =langle (hat{A}-langle A angle)Psi | (hat{A}-langle A angle)Psi angle =langle f | f angle$

$sigma_B^2 =langle (hat{B}-langle B angle)Psi | (hat{B}-langle B angle)Psi angle =langle g | g angle$

根據施瓦茨不等式，得到：

而對於某個複數 $z$ ，有

$|z|^2=[ ext{Re}(z)]^2+[ ext{Im}(z)]^2 geq [ ext{Im}(z)]^2 =[frac{1}{2i}(z-z^*)]^2$

將 $z=langle f | g angle$ 代入，有

$sigma_A^2 sigma_B^2 geq (frac{1}{2i}[langle f | g angle-langle g | f angle])^2$

而通過計算可得

$langle f | g angle=langle (hat{A}-langle A angle)Psi | (hat{B}-langle B angle)Psi angle =langle hat{A}hat{B} angle -langle hat{A} anglelangle hat{B} angle$

$langle g | f angle=langle (hat{B}-langle B angle)Psi | (hat{A}-langle A angle)Psi angle =langle hat{B}hat{A} angle -langle hat{A} anglelangle hat{B} angle$

所以有

$langle f | g angle-langle g | f angle=langle hat{A}hat{B} angle-langle hat{B}hat{A} angle=langle [ hat{A},hat{B}] angle$

其中

$langle [ hat{A},hat{B}] angle= hat{A}hat{B} - hat{B}hat{A}$

為 $hat{A}$ 、 $hat{B}$ 的對易子，也稱為泊松括弧。

這樣就得到：

$sigma_A^2 sigma_B^2 geq (frac{1}{2i}langle [ hat{A},hat{B}] angle)^2$

特別的，對於位置算符 $hat{A}=x$ ，和動量算符 $hat{B}=frac{hbar}{i}frac{d}{dx}$ ,有：

$[hat{x},hat{p}]=ihbar$

代入不等式得到：

$sigma_x^2 sigma_p^2 geq (frac{1}{2i}ihbar)^2=(frac{hbar}{2})^2$

由於標準差為正數，開方得

$sigma_x sigma_p geq frac{hbar}{2}$

至此我們證明了不確定性原理，上述計算表明，當兩個算符不對易時（即他們的對易子不為0），他們不能夠同時取確定值，反之，當兩個物理量的算符對易時，他們可以同時測准，此時他們具有共同的本徵態組，可稱這兩個物理量時相容的。

2、歷史

2.1 發現過程

^[6]1925年初夏，海森堡從哥本哈根回到哥廷根後，考慮放棄電子軌道的經典圖像，嘗試直接由光譜頻率和譜線強度這樣一些可觀測量入手來解決氫原子譜線強度計算的問題，6月中旬，海森堡在赫爾戈島養病期間關於量子力學的模糊想法逐漸清晰起來，在與泡利的一番討論後，7月初，海森堡寫成了開創量子力學的第一篇論文《從量子理論來重新解釋運動學和力學關係》^[7]，論文中，海森堡發現了物理量的符號乘法規則和坐標動量的對易關係。這篇文論已經勾勒出量子力學的基本輪廓。海森堡將論文的最後一稿交給玻恩，玻恩感覺到海森堡的論文中包含了他們追求多年的某種基本的東西，進一步研究後，玻恩發現海森堡的符號乘法不是別的，正是矩陣的運算，在此基礎上，玻恩和他的助手約爾丹合寫了創立量子力學的第二篇論文《關於量子力學》，他們把論文的副本寄給了正在度假的海森堡，海森堡寫了一封熱情的回信，假期結束後，三人共同完成了論文的收尾，這就是創立量子力學的第三篇論文《關於量子力學II》，它包括了量子力學的幾乎所有要點。這三篇論文奠定了量子力學的基礎，創立了量子力學的矩陣表述。

海森堡等人的工作在物理學界引起了廣泛的反響，狄拉克在了解到海森堡的工作後，從哈密頓力學理論觸發，從經典力學的泊松括弧得到了海森堡的對易關係，從力學量的運動方程獨立得到了與玻恩和約爾丹相同的結果，狄拉克在深入系統的研究後，獨立於海森堡們創立的量子力學，並使它具有更簡潔更普遍的形式。1926年，薛定諤提出了量子力學的波動形式，隨後又證明其與海森堡的矩陣形式是等價的，都是狄拉克的更普遍形式理論的具體體現。緊接著薛定諤的工作，玻恩提出了波函數的統計詮釋，指出波函數是一種概率振幅，其模的平方對應於測量到粒子的概率分布，這為海森堡提出不確定性原理在觀念上奠定了基礎。

海森堡的量子力學否定了電子的經典軌道概念，但電子的徑跡的確能夠通過雲室觀測到，這意味著什麼呢，海森堡在經過幾個月的思考後，突然意識到，之前在與愛因斯坦的討論中，當他向愛因斯坦表示「一個完善的理論必須以直接可觀測量作依據時」，愛因斯坦則向他指出「在原則上，試圖單靠可觀測量與建立理論那是完全錯誤的，實際上正好相反，是理論決定我們能夠觀測到什麼東西」^[8]。在這一回憶的啟發下，海森堡仿照愛因斯坦在狹義相對論里對同時性的操作定義方法，領悟到：雲室里的徑跡不可能精確的表示出經典意義下的電子軌道，他們原則上至多給出電子坐標和動量的一種模糊描述。海森堡隨後利用高斯型波函數研究量子力學對經典圖像的限制，並很快推導出同時測量粒子坐標和動量所受到的限制，正是上文提到的不確定性原理。

從量子力學理論結構上來看，不確定性原理是海森堡對易關係的推論，海森堡對易關係在量子力學體系中處於核心地位，而不確定性原理則揭示這個對易關係所包含的物理意義。1929年春天，海森堡在芝加哥大學發表了題為《量子論的物理原理》的一系列演講，全面和深入地重新審定和闡述了這一原理，他指出：一般說來，任何一個測定某些物理量的實驗，同時也就會改變以前所獲得的另一些物理量的知識。即使定量的追溯這種影響，我們仍會發現，在很多情況下，同時測量兩個不同物理量總是存在一個不能再提高的精度下限。相對論對經典概念進行批判的出發點，是假設不存在大於光速的信號速度。類似的，我們可以把同時測量兩個不同物理量有一個精度下限，即所謂不確定關係，作為一條自然定律，並以此作為量子論對經典概念進行批判的出發點，這個不確定關係告訴我們，要對原子過程做出一致描述，必須在多大程度上擺脫經典概念的限制。」

2.2 名稱

在海森堡1927年的論文中，使用了 "Ungenauigkeit" 這個單詞來描述這個原理，英文為「Indeterminacy」，但在章節附註中他又使用了單詞"Unsicherheit" ，即英文「Uncertainty」。^[1]後來在海森堡另一部著作的英文版中（《The Physical Principles of the Quantum Theory 》），延用了「Uncertainty」的說法，後來的英文文獻大多採用這種翻譯。

在中文物理學書籍中，該原理早期曾被譯作「測不準原理」，這可能是因為海森堡是採用顯微鏡測量的理想實驗來闡明這個原理的，然而無論是原始德文文獻還是英文文獻中，都沒有「測不準」這種說法，更重要的是微觀粒子的這種性質來源於波函數的統計詮釋，是其內稟屬性，與測量過程無關，因此「測不準原理」的說法嚴格意義上說是不正確的。

3、例子和應用

3.1 最小不確定波包

對於什麼樣的波函數，不確定性關係中的不等式可以取到等號，也就是說該波函數某種意義上具有最小的不確定性呢？為了解決這個問題，可以從原理的證明過程入手，證明過程中兩處不等式中取等號的條件分別是：

施瓦茨不等式成立，從而 $g=cf$
$[ ext{Re}(langle f|g angle)]^2=0$ ，從而 $ext{Re}(langle f|g angle)= ext{Re}(clangle f|f angle)=0$

由於 $langle f|f angle$ 為實數，故應為純虛數，令 $c=ia$ （ $a$ 為實數），則有：

$g=iaf$

代入坐標和動量算符有：

$(frac{hbar}{i}frac{d}{dx}-langle p angle )Psi =ia(x- langle x angle)Psi$

該微分方程具有通解：

$Psi(x)=A e^{-(a(x-langle x angle)^2)/2hbar}e^{ilangle p angle x/hbar}$

於是得到具有最小不確定度的波函數為高斯型波函數。^[5]

3.2 信號與系統中的不確定性原理

在信號處理系統中，理想低通濾波器的階躍響應的上升時間 $t_r$ 和帶寬 $B$ 的乘積等於1，這表明系統在時域的分辨能力與頻域的分辨能力相互制約，這兩個參量不能同時達到任意小的數值，提高時域的解析度必然要犧牲頻域的解析度，反之亦然。

通過對階躍響應的分析，反覆利用施瓦茨不等式和帕塞瓦爾定理，可以計算出信號持續時間的標準差 $Delta t$ 與信號角頻率標準差 $Delta omega$ 滿足：

$Delta t Delta omega geqfrac{1}{2}$

上述原理也稱為Gabor定律。

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參考

^^a^bHeisenberg W.über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik.Zeitschrift für Physik,1927:172-198.[2020-02-20]
^^a^b曾謹言.量子力學(第三版).科學出版社,2000:
^Kennard E H.Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen.Zeitschrift für Physik,1927:326-352.[2020-02-20]
^Weyl, H.Gruppentheorie und Quantenmechanik.Leipzig: Hirzel,1928:
^^a^bGriffiths, David J.Introduction to quantum mechanics.Upper Saddle River NJ:Pearson Prentice Hall,2005:
^王正行.量子力學原理.北京大學出版社,2003:
^Heisenberg W.über quantentheoretischen Kinematik und Mechanik.Zeitschrift für Physik,1925:[2020-02-20]
^海森堡.《原子物理的發展和社會》.北京:中國社會科學出版社,1985:

鬼尊在很久之前就已經對這個問題做出過非常詳細的回答：

https://github.com/caidish/PhantomGhost_ZhiHu/blob/master/uncertainty%20principle.png?

github.com

搬運一波主要的信息，再夾帶些私貨

先說比較物理的，

1.做x-p的傅里葉分析，其他答主都答了。

2.其實有很多更形而上的，參考這篇RMP:https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.89.015002

3.Wigner 表象直接用sympletic rigidity；

4.考慮 $CP(N)$ 上的FS metric和Berry Curvature $omega$ ，和曲線 $u$ ，利用任意曲線的能量函數用一次Stokes Theorem丟掉正項立即得到。

數學些的（很多我也不懂，搬運工）：

SAK Principle: http://www.numdam.org/article/AIF_2000__50_4_1229_0.pdf
神奇的Gromov 不可壓縮定理
經典上的最小相體積到量子的情況，看起來挺物理的，然而完全follow不住。

反對說不確定關係不能證明的回答。以大家熟知的初等量子力學為例，不確定關係並不是其基本假設之一，而是基本假設推導出的結果。

量子力學中的態可以用與該系統相關的復希爾伯特空間內的單位向量 $extbf{u}$ 表示， $|| extbf{u}||=1$ 。而可觀測量是根據物理規律確定的自伴算符。設 $extbf F$ 是一個可觀測量， $extbf u$ 為態且屬於可觀測量的定義域，則 $( extbf u, extbf F extbf u)$ 為 $extbf F$ 在態 $extbf u$ 下的期望值，也就是所謂的量子力學平均值。觀察量 $( extbf F-a extbf I)^2$ 在態 $extbf u$ 下期望值的算術平方根為觀察量在態下測量的不確定度，可以用 $Delta( extbf F, extbf u)$ 表示。

$Delta^2( extbf F, extbf u)=( extbf u,( extbf F-a extbf I)^2 extbf u)=|| extbf F extbf u-a extbf u||^2=|| extbf F extbf u||^2-a^2 ag{1}$

然後我們考慮兩個滿足 $extbf F extbf G- extbf G extbf F=i extbf I$ 的自伴算符，它們沒有公共的特徵向量，所以不能在同一態下精確測量，則有： $Delta( extbf F, extbf u)Delta( extbf G , extbf u)gefrac 12$ 。這就是不確定關係的一般表述。