點電荷電場散度為什麼是0？

09-17

通過數學計算知點電荷電場的散度是0，但這似乎違反了物理直覺。難道點電荷電場沒有場源嗎？

這裡的計算只對 $r e0$ 成立

在 $r=0$ 處散度是不為零的，原因如下

直接計算散度

$overrightarrow{ abla}cdotleft( frac{overrightarrow e_r}{r^2} ight)=frac{1}{r^2}frac{partial }{partial r}left( r^2frac{1}{r^2} ight)$

發現在r=0的時候是一個0/0的式子

用散度定理

$iiint overrightarrow{ abla}cdotleft( frac{overrightarrow e_r}{r^2} ight)d^3r=ointfrac{overrightarrow e_r}{r^2}doverrightarrow S=iint(overrightarrow e_r/r^2)(r^2sin, heta d heta dphioverrightarrow e_r)=4pi$

很容易看出最左邊的是一個狄拉克函數

$overrightarrow{ abla}cdotleft( frac{overrightarrow e_r}{r^2} ight)=4pidelta^3(overrightarrow r)$

r=0時δ(r)是無窮大，其餘為零

因為你在算的那一個坐標上沒有電荷分布。

點電荷的場當然有場源，場源就是那個點電荷啊。除掉點電荷所在點之外，電場散度為0。

根據高斯定理，靜電場散度等於電荷體密度，在點電荷的電場中，點電荷外電荷體密度處處為0，自然沒有散度，很符合直覺）

電場中某一點的散度代表了該點的電荷密度，而點電荷電場中除了電荷位置的點，其他位置電荷密度都為零。如果是電荷位置的散度應該會得到無窮的結果

準確來說點電荷電場散度是由三維狄拉克函數描述的，並不是零

點電荷的散度是一個三維delta函數.只是在場點為零.

既然是點電荷那麼就只有在原點處有電荷，所以除遠點外其它地方的散度為0。而原點處的電荷為無窮大(點電荷嘛，密度肯定是無窮大)，所以是個德爾塔函數

0這個答案是不完全的，沒有考慮到坐標原點

根據散度的定義，散度只存在於有電荷分布的區域，點電荷電場則存在於空間中。舉個簡單但可能不是很準確的例子，有一個人在山頂上唱歌，我們可以在別的地方聽到聲音，但是那個人只在山頂上。那個人就好比點電荷，聲音可以類比為場。