如何證明球面三角形內角和大於 180 度？

07-22

據說歷史上荷蘭數學家斯蒂文（Stevin，1548~1620）曾經給出過證明。

我想到一個證明方法，然而不太確定如何用數學語言來表達出來。

首先，球面三角形ABC的三條邊abc對應了三個大圓（也用abc）表示。

過球心作向量p,q,r垂直於大圓a,b,c。

然後我們想像一下，先固定A點，把大圓b（過AC兩點）旋轉至大圓c（過AB兩點）；然後固定B點，把大圓c旋轉至大圓a；最後固定C點，把大圓a旋轉至大圓b。

在這個過程中，一開始的向量q先旋轉到向量r，然後旋轉到向量p，最後旋轉回來。

但是！旋轉結束時，向量q反向了。

注意每次大圓旋轉時，向量旋轉的角度就是對應的球面三角形上的角的角度。

如果向量q只在一個平面上轉的話，那麼向量q反向，說明轉了180度，因此平面三角形內角和是180度（很容易想像吧？）

但是球面三角形的情況，如果q只在一個平面上轉，雖然角度總和是180度，但是這樣的三角形只有一種，就是其中兩點取在南極北極，構成一個0 0 180度的三角形。

而只要q不是在一個平面上轉，那麼它轉過的角度就不止180度，因此球面三角形的內角和大於180度。

……確實不知道數學語言應該怎麼說……幾何沒學好……

可以證明單位球面（謝 @張良肇提醒）的三角形面積等於其內角和減去 $pi$ ，而這個結果的證明可以參見項武義的《基礎幾何學》中的定理7.1 七、球面幾何和球面三角學

然後因為面積大於0（不考慮三角形退化到一個點或者線的情形），所以內角和大於180度。

一個顯而易見的例子是由赤道和兩條經線構成的三角形PNQ包含兩個直角和一個非0的頂角。基於這個圖，可以推測出球面三角形的內角和範圍在pi~2pi之間。

一個簡單的證明：一個單位球面，表面積為4PI，從北極出發的兩條經線，如果夾角為A，那麼所夾的那兩瓣對頂的西瓜皮，面積顯然跟夾角大小成正比，等於總面積的2A/(2PI)倍，也就是4A。

然後再從另一點切一刀，跟前述兩條經線的夾角分別為B, C。得到的另外4瓣皮的面積是4B, 4C.

設三角形面積是S.

注意到這6瓣瓜皮覆蓋整個西瓜表面，根據容斥原理，

4PI=三塊的總面積=4A+4B+4C-2S-2S-2S+2S=4(A+B+C)-4S

所以S = A+B+C - PI

Guass Bonnet 公式，圓的高斯曲率恆正

1思路就這樣，很簡單，畫出三點與所在球面三角形角ABC三條弧邊兩邊方向一樣並和球面相切的切線。得六邊形ADBECF。（直覺，這個六邊形應該在同一個面）連接AB，BC，CD，得三角形ABC

2證明角DAF+角DBE+角ECF的和大於180度即可，

3提示六邊形的內角和，角1等於角2，角3等於角4，角5等於角FAC。

4最重要是角ABC為180度。很明顯，畫出空間標準圖，角DBE+角ECF+角DAF=角ABC（180度）+角1+角2+角3+角4+角5+角FAC。

還可以推導出球面三角形範圍，大於90度，小於或等於540度。

角A加角B加角C等於180度加180度加180等540度

和圓度予盾？圓內度數為360度，圓外度（新名詞）為540度。

還可以推出，圓外度加上大三角形180度等於六邊形的度數，即540度加180度為720度。自圓其說！完美！