量子力學中的態矢量與波函數有什麼區別?

可以看到第二行，空間位置波函數實際上就是態矢量在坐標表象下的「投影」。

而第一行的量子態只能用狄拉克符號表示，不能用波函數表示。

想要區分，最好學習一下表象理論。

可以參考：

zhuanlan.zhihu.com

沒啥區別。

我們在基礎數學裡學到的矢量可以看成一種映射：N到R的映射。比如（2,3,5）可以看成把1，映射到2（第一分量），把2映射到3（第二分量），把3映射到5（第三分量）。

因此，函數可以看成一種無限維的矢量。舉個例子，函數sin x。我們可以把它離散化，得到一個有限維的矢量。比如我們可以把它在 上離散出100個點，得到一個100維的矢量：

這個100維的矢量，就可以看成是sinx 這個函數的離散近似，反過來看，sinx可以看成這個100維矢量的連續近似。

因此內積，就是兩個函數相乘做積分也就好理解了。比如，sinx和cosx內積的離散形式是：

當然，這裡沒有進行歸一化（歸一化矢量應滿足自身內積為1）。

最後再說說希爾伯特空間的事情。希爾伯特空間是單粒子態矢量的一種引申，它描述多粒子系統（粒子數可能不確定）。比如，有一態矢量為 ,它表示第一個粒子處於a態（即第一個粒子的波函數為 ），第二個粒子處於b態（即第二個粒子的波函數為 ），第三個粒子處於c態（即第3個粒子的波函數為 。如果這個系統又新產生了一個粒子，也即第4個粒子，處於d態。那麼態矢量就變為 。這個時候，由於外界的作用，第一個粒子從a態躍遷至e態，那麼態矢量為 。當然這裡並沒有考慮粒子的全同性（那是另外 一個故事）。而這裡的單粒子態矢量可能為任何恰當的函數（比如滿足連續性等要求）。

題主點贊了，我就多說兩句吧。

量子力學的矩陣表示是什麼意思？

比方說，我們有一個2分量的量子態寫為：（2,3i）.這個2和3i到底代表什麼？

答案是：代表某個函數乘以2+另一個函數乘以3i。也就是 。

比如一個算符寫成： 又代表什麼？

它代表：它作用到 上，得到 ,它作用到 上得到 。

注意，在這裡 一般被認為是正交的函數。

為了方便理解，我們從單粒子出發，如果一個孤立的粒子處在一個量子態上，我們就能用希爾伯特空間中的一個態矢量來表示它。

現在我們來考慮這個態矢量的物理意義，為此我們考慮Dirac量子力學的四大公設之一：可觀測公理，現實觀測到的每一個物理量的值應是某一個厄米運算元的本徵值（本徵值的解釋見下文）。這是什麼意思呢，就是說我們將抽象化的物理量（不要考慮經典物理給我們定義的那一套，問自己一個問題，質量是什麼？）在希爾伯特空間中數值化了。

換句話說，當你用一個厄米運算元作用在這個量子態上，你就獲得了一個數值化值！（這其中還涉及到了量子態的坍縮，感興趣的小夥伴可以進一步了解）

現實中，我們能有很多很多不同物理量，自然就有很多很多厄米運算元。每一個厄米運算元作用在量子態上都能獲得相應的值（但有不同的量綱），現在，我們將運算元作用前後不變的態稱為該運算元的本徵態，對應那個數值化的值稱為其本徵值，可以證明，不同本徵值對應的本徵態相互正交。再填一條完備性，這樣，我們就可以用同一物理量所對應厄米算符的全部本徵態，構成一個完備的子空間。

讓我們考慮Dirac量子力學第一公設（是的，就是第一公設），態的疊加性原理，兩個量子態的疊加能形成一個新的量子態（就和直角坐標空間中的矢量疊加類似）。由此，實際的量子態也應該是上面描述的，正交的本徵態的線性組合。

現在我們來解釋波函數，我們知道一個抽象化的量子態能觀測到很多很多物理量，如果我們要在希爾伯特空間中表示它，這樣的希爾伯特空間應該是很多很多厄米算符對應的子空間的集合。這其中就包括了坐標運算元對應的子空間（是的，坐標也算物理量，在量子力學中，也只有時間不能表示成某個厄米運算元的本徵值），我們所接觸的波函數，就可以理解為量子態在坐標運算元對應子空間中的投影（實際上是該量子態的在坐標子空間中所謂坐標本徵態的線性疊加係數，由於坐標是連續的，量子態實際數學形式應為積分。）。

什麼叫在坐標子空間的投影？怎麼算？這又需要引入對偶空間以及內積的概念。如果有感興趣的童鞋我們以後再聊。

PS：根據以上所述（尤其是疊加性原理和不同本徵值對應本徵態的正交性），其實足夠從數學上解釋量子態的坍縮，感興趣的童鞋可以考慮一哈。

呼，首次長答，歡迎指正。

同一個東西在時空中是波函數，在希爾伯特空間中是一個矢量。

區別在於你在哪個空間中討論。

你在哪個空間中討論都可以。

問題附帶的評論已經講得很好了。波函數可以看成是一個完整的實體，如果能選取合適的空間和坐標系（基矢量），比如希爾伯特空間和其中的基矢量，就可以將它在其中展開，每個基矢量上的分量是本徵值，這些本徵值是可以觀測到的物理量數值。

可以認為波函數是態矢量在具體表象的表示，就像算符的表示和算符本身

某種角度上看區別不太大，同一個東西的兩種描述，但態矢描述得更完備，波函數雖然也完備，但一般沒提範圍（沒錯你可能會說態矢也有不提範圍的，但好多都默認完備歸一H空間了）