向量內積的幾何意義？
向量內積是一個向量在另一個向量上的投影長度乘以另一個向量的長度，那麼這麼做的直觀理解是什麼？為什麼要引入向量內積的概念呢？
這個向量內積實在是很糾結的問題（我寫這篇回答之前剛想出來），就像我們班同學很難理解負負得正（因為我們六年級），要說用數學證明，實在難上加難，如果用物理來計算那就變簡單了。
你們在初中時物理肯定都學過「功」。就是用的力乘以所拉動的距離，但是坑人的是力和距離竟然都是向量（物理中稱矢量），這樣直接導致了力與地面不平行而導致無法直接求。這樣我們就定義了內積。
- 建造物理模型
就像圖裡展示的，在斜力 的作用下前進
兩向量間的夾角為
。
2.驗證推導
我們先看一下在 下，何時能走完
。
我們會發現當虛線落到 的末端時也就走完了全程(實際上，小車不會飛起。）
現在我們設 （就是 總路程上的那一小段）當作用到總路程的末端時也就走完了全程(實際上，小車不會飛起行完，故求
的功
就是求
的功。當把總路程S看做b的話，那麼得到內積定義式：
向量內積的重要性，我想可以通過一個定理來說明：
設內積可以理解為像實向量的點積，然後與規範正交基的內積可以看到向量v的分解。
如果在擴展一下（無限維）到泛函分析，我們可以得到希伯爾特空間和傅里葉變換。點積的直觀理解或基本的幾何表示如下，該圖源於一個視頻，youtube或b站上搜點積（dot product）都可以搜到。
不過的確，我們要這個東西有什麼意義呢？為什麼平白無故引入這個概念呢？
數學家很多時候引入一個新概念，都是為了方便更其他計算，或解釋物理現象。
解釋物理現象：力的做功，當力的向量和移動距離向量有夾角時，力的功就是力向量與距離向量的點積。
方便複雜計算： 例如，向量的點積為零，意味著垂直，這在證明垂直問題上有很大作用。
從信號處理的角度來說，內積是兩個信號的相似性
物理背景是做功W=fs
第一個問題表示無從解釋。
第二個問題，從數學角度上來說，內積是兩個向量之間的一種運算，引入內積的目的時為了定義內積空間。
詳見我的博客：《內積空間》https://blog.csdn.net/zhouchangyu1221/article/details/103776670
後一個向量在前一個向量上的投影長度。
向量空間正交的定義是a、b模平方相加等於a+b模平方。也就是勾股定理。a,b不是正交的話，可以用內積來描述角度也就是上面說的a+b模長平方減去a模平方和b模平方，然後除以2。定義為a.b。這樣的話，很容易看出，角度越小，這個值越大；正交的話等於0，角度大於正交的話，該值小於0。畫圖就能看出來。
換成坐標系描述，就是兩個模相乘再乘以夾角的餘弦，也就是或者投影乘以長度。
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