為什麼兩個非十進位的數轉化一定要通過十進位?

可以看到計算過程中，出現了循環，0.4，0.8，0.6，0.2會循環出現，所以0.1的二進位表示就是0.0 0011 0011 0011...是一個無限循環小數了。它就相當於我們十進位中的1/3，寫成小數形式是0.3333333...。

用代碼表示一下，我們只保留 10 位小數。

public static List& decimalTrans(double n) {
ArrayList& list = new ArrayList&<&>();
int count = 10;
while (count &> 0) {
n = n * 2;
list.add((int) (n));
n = n - (int) (n);
count--;
}
for (int i = 0; i &< list.size(); i++) { System.out.print(list.get(i)); } return list; }

歷史的發展

可以看一下現實生活中數字的發展，引自維基百科。

無位值十進位

• 古埃及十進位：以一個豎道代表1，二並排豎道代表2，三豎道代表3，一橫道代表4，左二撇右豎道代表5，上三撇下三撇代表6，上下兩道代表8，四個（並排代表9，一個「人」字形代表10，「人」上加一橫代表20，20左加一點代表30，橫道上加一點代表40，橫道上加三豎道（如中國籌算的8）代表60，橫道上加四豎道代表80（形同中國籌算中的9）代表80，兩橫道上加三豎代表90……。
• 古希臘十進位，1至9，10至90，100至900各有不同的單字母代表。
• 古印度Kharosshi十進位，以一個豎道代表1，二並排豎道代表2，三豎道代表3，一個X代表4，IX代表5，||X代表6，XX代表8，10，20個有單字元代表。
• 古印度和Brahmi十進位，和希臘十進位相似，1至9，10至90，100至900各有不同的單字母代表。符號很多。

非十進的進位制

• 巴比倫60進位制：以一個上大下小的楔形代表1，兩個並列楔形代表2，三個並列楔形代表3，上二個楔形下二個楔形代表4，上三楔下二楔代表5，上三楔下三楔代表6，上四楔下三楔代表7，上四楔下四楔代表8，上五楔下四楔代表9；一個左小右大橫楔代10，兩個橫楔並排代表20，三個橫楔並排代表30，四個橫楔並排代表40。
• 瑪雅20進位制：以一個點代表1，兩個點並列代表2，三點並列代表3，四點並列代表4，短橫線代表5，橫線上加一點代表6，橫線上加二點代表7，橫線上加三點代表8，橫線上加四點代表9；上下兩橫線代表10，上下兩橫線之上加一點代表11，三重疊橫線代表15，三橫線上加一，二，三點代表16，17，18；小橢圓圈上加一點代表20。

十進位制

• 中國古代的十進位有書寫式和算籌兩種型式。
• 印度-阿拉伯十進位制。

結束

不得不感慨下人類的聰明，將量的概念抽象出來，不同地區的獨立發展，最後又是那麼的相像。所以數字，其實就是符號對數量的映射，並且人們達成了共識。

以上是二進位和十進位的轉換，現在我們再重新思考一下進位，所謂進位無非是每一位有了不同的權重。

對於二進位權重依次是

也就是 ... 8 4 2 1

所以對於二進位 1100 ，轉為十進位就是二進位的每一位乘以它的權重，即

1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 0 × 1 = 12。

那麼問題來了，為什麼是轉成了十進位？

這裡是關鍵了，因為我們說權重的時候，習慣性就用 10 進位去計算了權重。

那麼這裡換下思路，我們不用十進位去表示權重，而是用七進位去表示權重。

讓我們熟悉一下七進位。

首先七進位用 7 個符號表示，即 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

再熟悉一下七進位的運算，滿 7 進 1

2 + 6 = 11

3 + 4 = 10

2 * 2 = 4

好的，看起來有些彆扭，但事實如此，哈哈。

讓我們回到二進位的權重問題，看一下七進位下的權重。

對於二進位權重依次是

也就是，... 11 4 2 1

所以對於二進位 1100 ，轉為七進位就是二進位的每一位乘以它的權重，即

1 × 11 + 1 × 4 + 0 × 2 + 0 × 1 = 11 + 4 = 15。

所以二進位的 1100 在七進位中就是 15。

我們直接將二進位轉為了七進位！

所以，我們之所以要將其他進位先轉換為十進位，就是因為進位的權重我們默認下都是在十進位下進行的。如果在程序中，我們算某個權重，比如 ，結果一定是 8，這也決定了，我們只能將其它進位先轉為十進位。

public int twoToTen(String two) {
char[] array = two.toCharArray();
int n = array.length;
int sum = 0;
int power = 0;
for (int i = n - 1; i &>= 0; i--) {
sum = sum + (array[i] - 0) * (int) Math.pow(2, power);
power++;
}
return sum;
}

輸入二進位 1100，就會輸出十進位的 12 了。

為什麼是 10 進位的呢，因為上邊我們累加以及算權重的時候，調用的加法、乘法、冪次，都是基於 10 進位的。

那麼我們能否修改函數，直接把二進位轉為七進位呢？

我們只需要重新定義加法、乘法、以及冪次，讓運算都是基於七進位的即可。這樣算出的權重就是基於七進位的，加法、乘法也就會是基於七進位的，最終的結果當然是一個七進位的數字了。

首先我們定義一個 Seven 類，進行七進位的加法以及乘法、冪次。

思想的話，參考 Leetcode 的第二題 大數相加 。

這裡的乘法以及冪次，直接遞歸的進行了，沒有進行任何優化，只用於演示，具體優化方法參考可以參考 LeetCode 的 29 題 以及 50 題。

此外，這裡的加法只考慮了兩個正數相加，減法也只考慮了減 1。

public final class Seven {
public static int sum(int n1, int n2) {
int res = 0;
int carry = 0;
int shift = 1;
while (n1 != 0 || n2 != 0) {
int x = (n1 != 0) ? n1 % 10 : 0;
int y = (n2 != 0) ? n2 % 10 : 0;
int sum = carry + x + y;
carry = sum / 7; //保存進位
res = res + sum % 7 * shift;
n1 /= 10;
n2 /= 10;
shift *= 10;
}
if (carry != 0) {
res = res + 1 * shift;
}
return res;
}

public static int pow(int a, int b) {
if (b == 0) {
return 1;
}
return Seven.mul(a, pow(a, Seven.subOne(b)));
}
}

有了七進位運算的類，我們就可以直接把二進位直接轉換為七進位了。

public int twoToSeven(String two) {
char[] array = two.toCharArray();
int n = array.length;
int sum = 0;
int power = 0;
for (int i = n - 1; i &>= 0; i--) {
int pow = Seven.pow(2, power);
int mul = Seven.mul(array[i] - 0, pow);
sum = Seven.sum(sum, mul);
power++;
}
return sum;
}

上邊如果輸入 1100，就會輸出七進位的 15 了。

甚至，我們可以在函數增加一個參數，就可以將任意進位轉為七進位了。

public int anyToSeven(String two, int radix) {
char[] array = two.toCharArray();
int n = array.length;
int sum = 0;
int power = 0;
for (int i = n - 1; i &>= 0; i--) {
int pow = Seven.pow(radix, power);
int mul = Seven.mul(array[i] - 0, pow);
sum = Seven.sum(sum, mul);
power++;
}
return sum;
}

上邊如果輸入 1200 3，也就是三進位的 1200，就會輸出七進位的 63 了。

當然上邊的 any 只能是小於七進位的，因為我們裡邊的運算都是基於 7 進位的，允許的符號是 0 - 6，如果大於七進位上邊就會亂套了。

至於大於七進位的轉為七進位，方法的話就類似於上邊介紹的十進位轉為二進位，此時權重是固定的，然後利用除法求出每一位的值。

因此我們至少還需要實現七進位的除法，然後利用十進位轉為二進位的思想即可。這裡就不寫了，就交給大家了，哈哈。

ps: 上邊的代碼，沒有做嚴格的測試，思想應該是對的，哈哈，發現問題可以和我交流。

總結一下吧

進位轉換分為兩大類。

低進位轉到高進位，也就是我們上邊詳細討論的。我們只需要把權重用高進位的數去表示，然後在某個進位下進行相乘相加即可。

高進位轉到低進位，類比於我們熟悉的十進位轉二進位，同樣用高進位的數表示權重，此時我們在某個進位下通過除法來求出各個位即可。

其實不管高進位到低進位，還是低進位到高進位，都是基於下邊的等式。

以十進位和二進位的轉換為例。

已知左邊，就是低進位到高進位。已知右邊，就是高進位到低進位。

左邊權重的冪次的底決定了低進位是多少。

相乘相加在多少進位下進行，決定了最終轉為了多少進位。

因此需要十進位中轉根本原因就是我們手裡的計算器，計算機，或者你自己的口算，所有的計算我們都默認在十進位下進行，數量這個概念我們也是用十進位表示的。

因此不管其他進位轉十進位，還是十進位轉其他進位都會很方便。

再補一句，如果自己去實現七進位下的加減乘除。為了減少我們的工作量，因為我們計算機已經實現了十進位的加減乘除，所以我們可以將七進位轉為十進位，然後進行相應的計算，最後再將結果轉回七進位即可。而我之前實現的七進位類，相當於在十進位的基礎上模擬了七進位的進位借位，所以更麻煩些。

人類轉的時候用十進位方便，因為我們學習除法乘法都是十進位的，比如小九九，如果是九進位要背小八八，如果是十六進位就要被小ff了。一一得一……4410，4514，……eec4，efd2，ffe1。。特殊的如二進位八進位十六進位之間直接轉或通過二進位比較方便。而計算機表示任何數都要轉二進位，一般只有輸入輸出需要轉十進位

這就好比，你英語翻譯成德語時，你會中間下意識有個漢語過渡