萌新昨天入坑量子力學，關於自由粒子的波函數實在無法理解，救命！？

03-10

原諒我還沒脫離經典物理，我理解的自由粒子都有一定的動量，既然如此，運動方向不應該是確定的嗎，為什麼還存在波函數呢？？難道動量向前的自由粒子還能向其他方向運動不成？

對於一個動量確定的自由粒子，波函數是平面波。

平面波的數學表達形式是 $e^{ikcdot x}$ ，k是波矢，x是坐標。

$p=hbar k$ 。顯然，k是確定的則動量p也是確定的，自然不能任意方向運動。那麼這個表達式的自變數就是坐標x

用物理的話說，在量子的情況下，一個動量確定的自由粒子，運動方向確定，但是位置完全不確定，我們不知道它在哪裡。即動量和坐標不能同時確定，這就是測不準原理。

而在經典的情況下，一個動量確定的自由粒子，我們也可以知道它在什麼時刻運動到了什麼位置。這就是經典和量子的區別。

由此我們可以做更深一點的探討。對於自由粒子，其波函數是否一定是平面波？

答案是否定的。

這個問題廣泛存在於各大高校考研量子力學試題中，也有很多人在此有誤解。對於一個自由粒子，守恆力學量完全集（CSCO）可以取動量p^2,p_z，也可以取角動量L^2,L_z，此時，自由粒子的角動量確定，是一個球面波，用球諧函數 $Y_{L,M}$ 來表示。

其實，微觀物理世界的本質是間斷性、量子性，粒子的質量和動量都是間斷的存在，粒子的形態也是間斷的量子性的存在，粒子的位置、速度、動能、運動、時空------統統都是間斷性、量子性的存在。

粒子的位置是間斷的存在，一個位置一個位置的跳躍，就是跳躍的運動，青蛙和兔兔一樣的跳躍的運動。跳躍的本質是粒子的形態的間斷性、量子性——粒子的變體性質，粒子都是變體粒子，不是恆定的存在——「剎那生滅」的「剎那實在」，「恍兮惚兮」、「周行不殆」的「非恆道」。用哲學語言說就是：在粒子的存在和運動過程中存在自主的內在固有的周期性的「量變質變」過程。用經典電磁理論的語言說就是：電磁波（光波）中電場（光子）與垂向磁場的周期性交變互化一樣的周期性量變質變過程。用量子力學的語言說就是：波函數自主周期性坍縮舒張（否則會導致波函數悖論——波函數被徹底消滅）及「非剛體的自旋」過程。

單說動量，動量也是間斷的量子性的存在，在粒子的變身過程中伴隨著質量與能量的周期性交變互化過程（狹義相對論效應的坐標變換、質能轉化、時空轉換都是間斷的量子化的），動量一定與某個量周期性交變互化，但在交變互化中雖然保持所有的不變性、守恆性、對稱性、全同性卻存在某些「非對稱性」，導致了速度和動量的方向性——向量性。「難道動量向前的自由粒子還能向其他方向運動不成？」問對了，粒子都是變體（波的波峰部分），粒子就是波函數的坍縮態，波函數的舒張態就是「類似於光波中的垂向磁場」的一種彌散性瀰漫性、非局域的「虛場態物質形態」，粒子的確在變身為虛場態以虛場態的形態向「所有可能的方向」彌散（運動）並通過了「所有可能的路徑」再把粒子感生——轉化——坍縮——自相干-退相干——「路徑積分」到最短路徑和一個個確定的位置的。在波函數的自主（慣性運動）周期性坍縮舒張中，存在許多不對稱，一種不對稱就是會把粒子感生——轉化——坍縮到原位置的前邊，保持了方向性和向量性，但這種不對稱是受光速限制的，接近光速就接近了這種不對稱的極限，這就是狹義相對論效應的深層本質。一種不對稱是坍縮舒張過程中的坍縮過程的過剩效應，這就是引力場的起源，是橫向疊加的量子化的引力——真正的「量子引力」。有一種物質的波函數坍縮舒張過程是近乎平衡的，不再坍縮為粒子態，而在兩種波函數的舒張態中振蕩，這就是傳說中的「暗物質」。還有一種物質的波函數是舒張效應過剩，就是大名鼎鼎的「暗能量」對應的物質了。有內在聯繫的系列性、序列性的邏輯真是美妙哇。

對於動能，必然與粒子的某種「勢能」周期性交變互化的，就是粒子的「質量能」，質量能的本質是一種勢能。這也是狹義相對論說的「質能轉化」。質能轉化不是偶然發生的，而是以物質波的頻率周期性發生的，時空轉換亦然。狹義相對論效應的量子化對狹義相對論進行了重新詮釋，與徹底的量子理論完全統一了。暫瞬的凝聚粒子態（波函數坍縮態）是有質量、時間的形態和狀態（形態與狀態統一），虛場態（波函數舒張態）是有能量（所謂暗能量）有空間的形態和狀態。不能多說了，這已經超出多數人的大腦負荷了，慢慢來。同時，這個理論還需要大家一起來具體和完善，共同努力呀！

大白話來說，動量就是有很多值

從數學上講，可觀測的力學量是希爾伯特空間上的厄米算符，在動量表象里，可以寫成一個按動量波函數展開的級數，每一項就是那個觀測值。

但這只是一種數學上的表述，其實現在人類也無法直觀理解態疊加原理。在這種不確定性裡面可能蘊含著很深的真理。

玻粒二象性，是指既可以是粒子，又可以是波，但不能同時都是吧？是粒子就是粒子，是波就是波。按粒子來講的時候就是差不多是經典。按波來講，確定波矢，不同位置振幅可以不同，概率不同也對，並不矛盾，個人認為關鍵在於同時。而且拿波還是粒子，是看問題需要，哪一個能解決問題就用哪個，有的時候兩者都可以用，但一次只能用一個，沒聽說過一起討論的。

拿一個自由粒子波函數來講，它是分段的，對稱的，波失既有正又有負，也並不是動量定死了就向左或者向右，因為它是自由的。所以波函數有可能是考慮到各個運動方向的集合體。你遇到哪一個確定的動量，確定的位置，帶進去，都可以得到一個概率幅。但其實，不確定原理告訴我們，二者不可兼得，而且也有可能是這個不確定，讓他的位置忽前忽後，動量忽大忽小。

從路徑積分上來講粒子從一個點運動到另一個點，是把所有的路徑都遍歷過了，都有可能走。而宏觀上只有一條路徑是因為，h在宏觀可認為無限小，除了最小作用量原理指出的路徑，其餘路徑均概率平均為零，所以只有一條。所以就算直線加速，也不一定走直線，他會走，所有可能的，路徑，但只取一條走。

最後再說一點，這些都是猜想，量子力學只不過可以解釋更多的現象，並不一定說他沒問題，就像波函數坍縮一樣，這個根本就沒法解釋，學物理，細節固然重要，但更重要的是學會去猜，學會去接受一些假定。個人經驗，即使你搞懂了這個問題也沒卵用，哈哈哈。

大學選物理，堅持下去你會明白的

胤禛童鞋的回答很完整；

對於動量完全確定的自由粒子，那麼所有方向（x，y，z）的位置就完全不確定；也就是說這樣的粒子是全空間彌散的！it could be everywhere！

但是為什麼我們看到的粒子（即使是看上去很自由的粒子，但實際上並不那麼自由，它總會處在各種各樣的勢裡面）都是有位置有動量的呢？

很簡單，因為它的動量並不是完全確定的！為什麼能知道它不是完全確定的？因為它表現出了粒子性，雖然我們仍然無法確定粒子的準確位置，但是我們可以大概（這個大概是指你的測量精度）知道它處於一個什麼樣的範圍之內。

好了，動量不完全確定，位置也不完全確定的東西，那不就是一個波包嘛！

所以我們對於自由粒子的印象只是一個很小的波包而已，而對於真正的自由粒子，就是薛定諤方程的解描述的那樣！

ps：既然如此，那麼問題來了，存不存在動量和位置都不能完全確定的自由粒子呢？

ps2.0：這是我的理解，有什麼不對的地方，歡迎討論和斧正：）

你說對了有種觀點就是各個方向都有，因為這裡波函數是說概率波。

舉個例子：最簡單的光的傳播途徑，著名的的費馬定理——光傳播的路徑是光程取極值的路徑。這就詭吊了，光還會取極值嘛，難道時而選最短，時而選最長？概率波給出的解釋是光是沿各個方向的，但是總有一條路徑的概率積分為1，其他路徑積分為0。

舉個例子，你照相的時候要對焦吧，平時照相都是很清晰鋒利的成像，但是到了微觀世界，對焦就很難了（原因為什麼你以後要學）。漸漸地你就看不到鋒利的邊緣（確定的位置和速度）了，但是我們還是可以用一個函數來表示模糊成像的情況，那個模糊的影子範圍也就是波函數。其他物理量類似。

量子力學的解釋就是任何粒子都存在不確定性，反應到動量上也就是動量在各個方向都存在，只不過成某一概率分布而已，這個概率函數就是波函數。

不要問我這是為什麼，因為這個問題本來就是量子力學的基本假設（或曰公理），也就是沒有理由本就如此。你只有相信它接受它，或者至少先允許它是對的，才能繼續理解量子力學的各種奇怪結論。

ps，這個基本假設也不是憑空假設的，而是無數次的實驗結果推出來的，雖然也有可能有別的解釋，但目前這個解釋最符合實驗結果。

簡單地說，動量不是以「一個有著明確方向」的形式存在的，而是「一定幾率存在著某個方向上的動量」，最後所有方向的動量都有著一定概率存在，這個整體的概率，叫做波函數。

換個例子，6面的骰子，1/6幾率1朝上，1/6幾率2朝上，等...

但是這個幾率和一般來說的那個幾率不一樣，一般意義上那個幾率的意思是

它肯定已經處於6種的狀態中的一種，但是我不知道，我只能猜，而我猜中的幾率是1/6

但是波函數的意思則是

它並沒有處於6種的狀態中的任何一種，它處於一種，「1/6幾率1朝上，1/6幾率2朝上，等...」的狀態，這種狀態叫做疊加態