1.1 基本框架

07-15

這一小節的目的是建立一個處理含時哈密頓量的基本框架。首先從我們熟知的薛定諤方程(Schrodinger equation)出發：

$ihbar frac{d}{dt} |psi(t) angle = H(t)|psi(t) angle ag{1.1.1}$

為了得到量子態 $|psi angle$ 的時間演變(time evolution)，似乎只需要將從 $t_i$ 到 $t_f$ 這段時間切割成無限多份然後積分即可，也就是

$|psi(t) angle overset{?} = expBig(-frac{i}{hbar} int_{t_i}^t H(t)dt Big) |psi(t_i) angle$

這顯然是錯誤的(不然這一章就已經結束了)。問題在於處在不同時刻的哈密頓量不一定對易，通常情況下，

$[H(t), H(t)] eq 0 quad ext{if} quad t eq t$

這意味著在合併指數的時候會產生額外的對易子(參見Baker–Campbell–Hausdorff公式)。這個問題看上去不是很好解決，所以不妨換一個思路。我們先定義一個時間演化運算元 $U(t_f,t_i)$ ：

$U(t_f,t_i)|psi(t_i) angle equiv |psi(t_f) angle ag{1.1.2}$

代入(1.1.1)我們很容易發現這個運算元必須滿足如下條件：

$ihbar frac{d}{dt} U(t,t_i) = H(t)U(t,t_i) quad ext{and} quad U(t_i,t_i) = mathbb{1} ag{1.1.3}$

這個微分方程看上去並沒有什麼差別，但是我們可以把 $U(t_f,t_i)$ 展開成哈密頓量 $H$ 的級數：

$U(t_f, t_i) = sum_{n=0}^infty u_n(t_f, t_i) ag{1.1.4}$

其中 $u_n(t_f,t_i)$ 表示其中含有 $n$ 個 $H$ 相乘。現在我們嘗試使用迭代法。將(1.1.4)代入(1.1.3)，在第零階我們有(這裡1表示恆等運算元)

$ihbar frac{d}{dt} u_0(t,t_i) = 0 implies u_0(t,t_i) = 1$

在第一階我們有

$ihbar frac{d}{dt} u_1(t,t_i) = H(t) u_0(t,t_i) = H(t) implies u_1(t,t_i) = -frac{i}{hbar} int_{t_i}^t H(t)dt$

以此類推，從第二階可以得到

$u_2(t,t_i) = Big(frac{-i}{hbar}Big)^2 int_{t_i}^{t} dt_2 H(t_2) int_{t_i}^{t_2} dt_1 H(t_1)$

不難看出在第 $n$ 階我們有

$u_n(t,t_i) = Big(frac{-i}{hbar} Big)^n int_{t_i}^t dt_n H(t_n) cdots int_{t_i}^{t_2} dt_1 H(t_1) ag{1.1.5}$

注意到每一次的積分上限都是下一次的積分變數，這意味著哈密頓量要按照時間排序。為了簡化書寫，我們定義時間排序函數(time-order product)如下：

假設我們有 $n$ 個依賴於時間的運算元 $O_1(t_1), O_2(t_2), cdots, O_n(t_n)$ ，定義
$mathbb{T} Big{O_1(t_1),O_2(t_2), cdots, O_n(t_n) Big} equiv O_{sigma_n}(t_{sigma_n}) O_{sigma_{n-1}}(t_{sigma_{n-1}}) cdots O_{sigma_1}(t_{sigma_1})$
其中 $(sigma_i)_{1leq i leq n}$ 表示對這 $n$ 個數的一個置換(permutation)，並且滿足
$sigma_i > sigma_j iff t_{sigma_i} > t_{sigma_j} quad ext{for} quad i<br /> eq j$

有了這個定義，我們就可以把(1.1.5)中的哈密頓量合併到一起了(注意到這裡我們把所有的積分上限都換成了 $t$ ，所以分母需要除掉 $n!$ 種排列可能)：

$u_n(t,t_i) = frac{1}{n!} Big(frac{-i}{hbar}Big)^n int_{t_i}^t dt_n int_{t_i}^t dt_{n-1} cdots int_{t_i}^t dt_1 mathbb{T} Big{H(t_n)cdots H(t_1) Big} ag{1.1.6}$

現在我們可以把(1.1.4)完整寫出來了：

$egin{align*} U(t_f, t_i) &= sum_{n=0}^infty frac{1}{n!} Big(frac{-i}{hbar} Big)^n mathbb{T} Big{Big(int_{t_i}^{t_f} H(t_n)dt_nBig) cdots Big(int_{t_i}^{t_f} H(t_1)dt_1Big) Big} \ &= mathbb{T} Big{sum_{n=0}^infty frac{1}{n!} Big(frac{-i}{hbar} Big)^n Big(int_{t_i}^{t_f} H(t)dt Big)^n Big} \ &equiv mathbb{T} Big{expBig(-frac{i}{hbar}int_{t_i}^{t_f} H(t)dt Big) Big} end{align*} ag{1.1.7}$

注意到這裡最後一行的定義是具有欺騙性的(僅僅為了好看)，實際上在操作時間排序的時候還是要展開成第一行的樣子。式(1.1.7)有時也被稱為Dyson級數(Dyson series)。

有了基本框架，我們當然要來檢驗一些簡單的極限。一個很容易想到的極端情形是瞬時近似(sudden approximation)。假如哈密頓量在從 $t_0$ 到 $t_0 + Delta$ 的時間內急劇變化(也就是 $Delta ightarrow 0$ 的極限)，那麼時間演化運算元就變成了

$lim_{Delta ightarrow 0}U(t_0+Delta,t_0) = lim_{Delta ightarrow 0} mathbb{T} Big{expBig(-frac{i}{hbar} int_{t_0}^{t_0+Delta} H(t)dt Big) Big} = mathbb{1}$

也就是說系統來不及響應哈密頓量的變化。另一個重要的極限是絕熱近似(adiabatic approximation)，也就是當哈密頓量隨時間極其緩慢地變化的時候。我們將在下一小節討論。