3.3 定態散射理論

07-14

接下來我們使用比微擾理論適用範圍稍廣的方法分析散射問題 - 定態散射理論(stationary state scattering theory)。顧名思義，在定態散射理論中我們使用的是不可歸一化(non-normalizable)的類平面波態來描述散射問題。我們依舊將哈密定量分離為自由哈密頓量 $H_0$ 和散射勢 $V$ ，即

$H = H_0 + V ag{3.3.1}$

但這裡的 $V$ 我們並不當作微擾處理，只要求它是局域化的(localized)。入射態 $|psi_{vec{p}}^ ext{in} angle$ 顯然要滿足薛定諤方程

$(H_0 + V) |psi_{vec{p}}^ ext{in} angle = E |psi_{vec{p}}^ ext{in} angle implies (H_0 - E) |psi_{vec{p}}^ ext{in} angle = -V |psi_{vec{p}}^ ext{in} angle ag{3.3.2}$

這個微分方程連同邊界條件可以轉化為一個積分方程：

$|psi_{vec{p}}^ ext{in} angle = |varphi_{vec{p}} angle - frac{1}{H_0 - E} V|psi_{vec{p}}^ ext{in} angle ag{3.3.3}$

其中

$langle vec{r}|varphi_{vec{p}} angle = e^{ivec{p}cdotvec{r}/hbar} ag{3.3.4}$

代表了無窮遠處的邊界條件。(3.3.3)也被稱為Lippmann-Schwinger方程(Lippmann-Schwinger equation)，在 $vec{r}$ 表象中我們有

$langle vec{r}|psi_{vec{p}}^ ext{in} angle = e^{ivec{p}cdotvec{r}/hbar} + int d^3r langle vec{r}|frac{1}{E - H_0}|vec{r} angle V(vec{r}) psi_{vec{p}}^ ext{in}(vec{r}) ag{3.3.5}$

其中積分包含的第一項是一個格林函數(Greens function)，我們接下來先攻克它。插入封閉性關係式(completeness relation)得到：

$egin{align*} langle vec{r}|frac{1}{E - H_0}|vec{r} angle &= int d^3p langlevec{r}|vec{p} angle frac{2m}{p^2 - p^2} langle vec{p}|vec{r} angle \ &= int d^3p e^{ivec{p}cdot(vec{r} - vec{r})/hbar} frac{2m}{p^2 - p^2} \ &= frac{2m}{(2pihbar)^3} (2pi) int_0^infty dp p^2 frac{1}{p^2 - p^2} int_{-1}^1 d(cos heta) e^{ip|vec{r} - vec{r}|cos heta/hbar} \ &= frac{(2m)(2pi)}{(2pihbar)^3} int_0^infty dp frac{p^2}{p^2 - p^2} frac{e^{ip|vec{r} - vec{r}|/hbar} - e^{-ip|vec{r} - vec{r}|/hbar}}{p|vec{r} - vec{r}|/hbar} \ &= frac{-m}{2pi^2hbar^2} frac{1}{|vec{r} - vec{r}|} frac{1}{i} int_{-infty}^infty dp frac{p}{(p - p)(p+p)} e^{ip|vec{r} - vec{r}|/hbar} end{align*} ag{3.3.6}$

在複平面中顯然有 $p = pm p$ 兩個極點。使用圍道積分，從實軸負無窮出發到實軸正無窮，最終在上半平面無窮遠處劃半圓回到起點，其中只將極點 $p=p$ 包含進圍道(即Feynman圍道)：

$frac{1}{(p-p)(p+p)} ightarrow frac{1}{(p-p - iepsilon)(p+p + iepsilon)}$

於是有

$langle vec{r}|frac{1}{E - H_0}|vec{r} angle = frac{-m}{2pihbar^2} frac{e^{ip|vec{r} - vec{r}|}}{|vec{r} - vec{r}|} ag{3.3.7}$

由於圍道的特殊取法，我們可以將Lippmann-Schwinger方程略微改寫一下：

$|psi_{vec{p}}^ ext{in} angle = |varphi_{vec{p}} angle + frac{1}{E - H_0 + iepsilon} V|psi_{vec{p}}^ ext{in} angle ag{3.3.8}$

接下來我們可以嘗試處理 $r ightarrowinfty$ 極限情形下(3.3.5)中的積分。當 $r$ 很大時，我們可以進行如下展開：

$|vec{r} - vec{r}| = sqrt{vec{r}^2 + vec{r}^2 - 2vec{r}cdotvec{r}} = r - hat{r}cdotvec{r} + mathcal{O}(r^{-1})$

那麼(3.3.5)中的積分則變成

$frac{-m}{2pihbar^2} int d^3r frac{e^{ip(r - hat{r}cdotvec{r})/hbar}}{r} V(vec{r})psi_{vec{p}}^ ext{in}(vec{r})$

於是(3.3.5)便可以寫作

$psi_{vec{p}}^ ext{in}(vec{r}) = e^{ivec{p}cdotvec{r}/hbar} + f( heta,phi)frac{e^{ipr/hbar}}{r} quad ( ext{for large } r) ag{3.3.9}$

其中 $f( heta,phi)$ 被稱為散射振幅(scattering amplitude)：

$f( heta,phi) = frac{-m}{2pihbar^2} int d^3r e^{-iphat{r}cdotvec{r}/hbar}V(vec{r}) psi_{vec{p}}^ ext{in}(vec{r}) ag{3.3.10}$

通過概率流的守恆，可以很容易得到散射振幅和微分散射截面的關係：

$frac{dsigma}{dOmega} = |f( heta,phi)|^2 ag{3.3.11}$

對(3.3.5)的處理可以通過迭代來一步步逼近真實解。倘若我們簡單地在等號右邊把 $psi_{vec{p}}^ ext{in}(vec{r})$ 換成 $e^{ivec{p}cdotvec{r}/hbar}$ ，我們便得到一級近似。這也通常被稱為一級Born近似(first Born approximation)。

為了說明這一點，我們可以再次考慮Rutherford散射，即 $V(r) = Ze^2/r$ 。由(3.3.10)我們有

$f( heta,phi) approx frac{-m}{2pihbar^2} int d^3r e^{-phat{r}cdotvec{r}/hbar} frac{Ze^2}{r} e^{ivec{p}cdotvec{r}/hbar} = -frac{mZe^2}{2pihbar^2} frac{4pihbar^2}{|vec{p} - phat{r}|^2} = frac{-mZe^2}{2p^2sin^2( heta/2)}$

不出所料，第二步又是前一小節我們見到過的傅里葉變換。取模方得到

$frac{dsigma}{dOmega} = |f( heta,phi)|^2 = frac{m^2Z^2e^4}{4p^4sin^4( heta/2)}$

於是我們再次得到了Rutherford散射公式(3.2.8)。