[009]單粒子態 (2)：數學準備（續）- 李代數、群的表示

07-15

李代數

這部分是接著上一節翻的。有刪節。
「數學準備」部分更適合於粗看一遍就跳過，遇到不懂的再返回來查閱。如果細看的話，很容易不知道重點是什麼。

李代數 (Lie algebra)：實的李代數 $mathfrak{g}$ 由實數域 $mathbb{R}$ 上的有限維向量空間 $V_n$ 以及一個雙線性運算構成。它可以寫成對易子（commutator, 或李括弧，Lie bracket） $[cdot,cdot]:V_n imes V_n o V_n$ ，滿足以下公理：

雙線性： $[alpha a+eta b, c]=alpha[a, c]+eta[b, c] ;, [c, alpha a+eta b]=alpha[c, a]+eta[c, b]$ ，對實數 $alpha, , eta$ 和向量 a, b, c 成立。
反對稱性： $[a, b]=-[b, a] quad forall a, b in V_{n}$ 。特別地， $[a, a]=0 quad forall a in V_{n}$ 。
雅可比 (Jacobi) 恆等式： $[[a, b], c]+[[b, c], a]+[[c, a], b]=0$ 。

李代數 $mathfrak{g}$ 的 子代數 是 $V_n$ 的子集且滿足同一對易關係 $[cdot,cdot]$ 。

如果對於 $forall a, b in V_{n}$ 都有 $[a, b]=0$ ，那麼說這個代數是阿貝爾的。

從數學上看，李代數和李群似乎沒有太大關係，但歷史上李代數是研究李群的一個工具。

例

三維歐氏空間 $mathbb{R}^3$ ，以向量叉積作為對易子，構成3維的李代數。
$n imes n$ 反厄米矩陣（ $A^dagger = -A$ ）張成的實向量空間（也就是以一組矩陣為基，它們的實係數線性組合）它們的對易子是封閉的。因此它構成實的李代數，稱為 $mathfrak{u}(n)$ ，維數為 $n^2$ 。它是幺正群 U(n) 的李代數。
$n imes n$ 反厄米的無跡矩陣（ $mathrm{Tr}[A] = 0$ ）張成的實向量空間構成李代數 $mathfrak{su}(n)$ 。, 是 SU(2) 群的李代數，維數是 $n^2 - 1$ 。請嘗試證明， $mathfrak{su}(2)$ 是三維的李代數，可由一組基 ${isigma^1, isigma^2, isigma^3 }$ 張成。其中 $sigma^1, sigma^2, sigma^3$ 是 Pauli 矩陣。

李代數和李群

令 $mathcal{G}$ 為一李群，其群元素 $g(mathbf{t})$ 由n個實數 $mathbf{t} = (t_1, t_2, dots, t_n)$ 決定，且有單位元 $e = g(0,0,dots,0)$ 。無窮小生成元 ${ x_i }^{n}_{i = 1}$ 的定義如下：

$x_i = -i frac{partial}{partial t_i} g(t_1, t_2, dots,t_i, dots, t_n)Big|_{t_1=t_2=cdots=t_n = 0},$

這些生成元 ${ x_i }^{n}_{i = 1}$ 張成 n 維矢量空間。這個矢量空間構成李代數。李群 $mathcal{G}$ 的李代數寫成 $mathfrak{g}$ 。

在這樣的定義下，每一個李群都有唯一的李代數與之對應。當李群用矩陣表示時，一定能寫成 $g(mathbf{t}) = exp(imathbf{tcdot A})$ ，其中 $mathbf{A}$ 是生成元，這些生成元張成的矢量空間構成唯一的李代數。反過來，每一個李代數都一定有李群與之對應，但不唯一。比如 SU(2) 和 SO(3) 的李代數是一樣的（稱為同構，isomorphism），因為它們的生成元有相同的對易關係。但是這兩個李群不是同構的。

如果 $(mathcal{H},*)$ 是 $(mathcal{G},*)$ 的子群， $mathfrak{h}, , mathfrak{g}$ 分別是它們的李代數，那麼 $mathfrak{h}$ 是 $mathfrak{g}$ 的子代數。

例

n 維歐氏空間 $mathbb{R}^n$ 對向量加法構成李群，這個李群的李代數也是向量空間 $mathbb{R}^n$ 。它的對易子 $[a,b] = 0$ 。
一般線性群 $mathrm{GL}(n,mathbb{R})$ 的李代數是 $n imes n$ 矩陣張成的向量空間（維數是多少？不知道！），對易子是 $[A,B] = AB - BA$ 。
如果 $mathcal{G}$ 是 $mathrm{GL}(n,mathbb{R})$ 的子群，那麼當 $mathbf{t}$ 很小的時候，群元 $g(mathbf{t}) = exp(imathbf{tcdot A}) approx mathbb{1}_n + epsilon m$ , $epsilon$ 是一個無窮小的正數，m 是矩陣。例如對於正交群 $A A^T = 1_n$ ，那麼 $left(mathbb{1}_{n}+epsilon m ight)left(1_{n}+ ight.epsilon m )^{T}=mathbb{1}_{n}$ 。也就是說， $m+m^{T}=0$ ，是反對稱矩陣。
雖然前一個標題里的例3說了，標準的 $mathfrak{su}(n)$ 是用無跡的反厄米矩陣定義的，但是物理上習慣把這些矩陣除個i，全變成厄米的。比如，用 $2 imes 2$ 的 Pauli 矩陣（是厄米矩陣）表示 $mathfrak{su}(2)$ ，用 $3 imes 3$ 的 Gell-Mann 矩陣表示 $mathfrak{su}(3)$ 。
閔氏空間的平移變換 $x mapsto x^{prime}=x+a$ 構成平移群 (translation group) $T^4$ 。它是阿貝爾群。唯一的不可約有限維幺正表示是 $U(a) = exp (iacdot P)$ , 它是個一維表示。但這個群是個四維的群，生成元是四維動量算符 $P$ ，它們的對易子 $[P^mu ,P^ u] = 0$ 。

角動量

量子力學裡已經學過，角動量之間的對易關係是 $left[L^{i}, L^{j} ight]=mathrm{i} epsilon^{i j k} L^{k}$ 。

角動量算符可以用 2x2 的 Pauli 算符實現，寫成 $J^i = frac{1}{2} sigma^i$ 。依照非相對論量子力學，作用在自旋單態（2個分量）上的旋轉矩陣是幺正算符（態不變，坐標架沿單位矢量 n 旋轉 $heta$ 角）：

$U=exp left(frac{i}{2} sigma cdot alpha ight)={alpha=mathbf{n} heta}=cos frac{ heta}{2}+i sigma cdot mathbf{n} sin frac{ heta}{2}.$

用剛學的群論的觀點來理解，所有的 $U$ 構成李群，生成元是 $J^i$ 。

而作用在三維空間坐標上的旋轉矩陣是正交矩陣，它們構成 SO(3) 群。如沿 z 軸的旋轉矩陣是（同樣是位置不變，坐標架動）

$R_{3}( heta)=left( egin{array}{ccc}{cos heta} & {sin heta} & {0} \ {-sin heta} & {cos heta} & {0} \ {0} & {0} & {1}end{array} ight)$

按照剛剛介紹的求生成元的辦法，求出來角動量用 3x3 的矩陣實現出來如下：

$L^{3}=-mathrm{i} left.frac{mathrm{d} R_{3}( heta)}{mathrm{d} heta} ight|_{ heta=0}=left( egin{array}{ccc}{0} & {-i} & {0} \ {i} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0}end{array} ight)$

仿照上面的方法求出另兩個角動量

$L^{1}=left( egin{array}{ccc}{0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {-mathrm{i}} \ {0} & {mathrm{i}} & {0}end{array} ight) quad ext { and } quad L^{2}=left( egin{array}{ccc}{0} & {0} & {mathrm{i}} \ {0} & {0} & {0} \ {-mathrm{i}} & {0} & {0}end{array} ight)$

注意到 $R_{3}( heta)=exp left(mathrm{i} heta L^{3} ight)$ 。對n軸的旋轉總可以寫成

$R_{n}( heta)=exp (mathrm{i} heta mathbf{n} cdot mathbf{L}).$

和剛才那個U算符的結構很像。這樣，SU(2) 和 SO(3) 群的生成元滿足一樣的對易關係，都能表示角動量這個物理量。但是 SU(2) 和 SO(3) 群不是同一個群。比如，對於 $heta = 2 pi$ , $U(2pi) = -mathbb{1}_2$ , 而 $R(2pi) = mathbb{1}_3$ .

可約表示和不可約表示

群的表示滿足： $Uleft(g_{1} g_{2} ight)=Uleft(g_{1} ight) Uleft(g_{2} ight)$ 以及 $Uleft(g^{-1} ight)=U^{-1}(g)$ 。

如果一個幺正的表示矩陣可以化成分塊對角的形式：

$U(g)=left( egin{array}{cc}{U_{1}(g)} & {0} \ {0} & {U_{2}(g)}end{array} ight)，$

那麼說這個表示稱為可約表示，否則稱為不可約表示。