[001]散射理論初探 (1)：數學準備

07-14

四維時空坐標下的散射理論

說好的先講散射。不過 S 矩陣的內容不可能太深，因為它的對稱性得等到嚴謹定義完單粒子態後才能說明白。也因此，這裡的波函數還是沿用以前量子力學裡的定義，只不過把歸一化係數改一下，不再歸一化到 Delta 函數了。第二章講單粒子態，再補上。

數學準備

四維坐標、張量分析

約定自然單位制：c= ? = 1.

在電動力學中已經引入了四維坐標和動量：x = (ict,x), p= (iE/c, p)。但量子場論（以及廣義相對論）的分析中，這個虛數很不方便。改為這樣的表示（逆變四維矢量）：

$egin{aligned} x^mu = (t,mathbf{x}), && p^mu = (E,mathbf{p}). end{aligned}$

μ=0,1,2,3, 希臘字母表示4維的分量。以前常用的 i,j,k,... =1,2,3 ，表示空間分量。能量和三維動量滿足「質殼關係」： $E^2 = m^2 + mathbf{p}^2$ 。

Minkowski 空間的時空度規張量：

$g_{mu u}=g^{mu u}=left( egin{matrix}{1} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {-1} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {-1} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {-1}end{matrix} ight)$

升降角標：對任意矢量V，

$V_mu = g_{mu u} V^ u,~~ V^mu = g^{mu u} V_ u$

採用愛因斯坦求和約定,對所有一上一下的相同角標求和，滿足交換律。角標在底下的矢量稱為協變四維矢量。類似的操作可推廣到張量，各角標的順序不能調換（如果能調換，說明這個張量關於這一組角標對稱或反對稱）。如：

$T^{alphaeta~~delta}_{~~~~gamma}=g^{alphamu}g^{eta u}g^{delta ho} T_{mu ugamma ho} = g^{alphamu}g^{eta u} T_{mu ugamma ho}g^{delta ho} eq T^{alphaeta~~gamma}_{~~~~delta} .$

逆變的度規張量和協變的度規張量相乘，得到 Kronecker Delta 符號：

$g_{mu ho} g^{ ho u} = g^{mu ho} g_{ ho u} = delta^mu_ u = left{ egin{matrix}0,&&mu eq u;\1,&&mu = uend{matrix} ight.$

那麼協變的坐標和動量就是（彎曲時空不對）

$egin{aligned} x_mu = (t,-mathbf{x}), && p_mu = (E,-mathbf{p}). end{aligned}$

四維矢量的內積：

$A cdot V equiv A_{mu} V^{mu}=A^{mu} V_{mu}=A^{0} V^{0}-mathbf{A} cdot mathbf{V}=g_{mu u} A^{mu} V^{ u}=g^{mu u} A_{mu} V_{ u}.$

對坐標的微分：

$partial_{mu} equiv frac{partial}{partial x^{mu}}=left(partial_{0}, partial_{i} ight)=left(frac{partial}{partial t}, abla_{i} ight)=g_{mu u} partial^{ u},$

注意一下，這裡角標在下邊的,不帶負號。相應的，

$partial^{mu}=left(frac{partial}{partial t}, - abla_{i} ight).$

D Alembert 運算元：

$square=partial_{mu} partial^{mu}=partial_{0}^{2}- abla^{2}$

坐標變換矩陣： $x^mu = Λ^mu_{~~ u} x^ u ，$

其中 $Lambda^mu_{~~ u} = frac{partial x^mu}{partial x^ u} = frac{partial x_ u}{partial x_mu},$

有如下性質：

$Lambda^mu_{~~ ho} Lambda_ u^{~~ ho} = frac{partial x^mu}{partial x^ ho} frac{partial x_ u}{partial x_ ho} = frac{partial x^mu}{partial x^ ho} frac{partial x^ ho}{partial x^ u} = delta^mu_ u.$

所以有時候把 $Lambda_ u^{~~mu}$ 寫成 $(Lambda^{-1})^mu_{~~ u}$ 。

Lorentz變換：包括旋轉變換和推進 (boost) 變換。它是線性變換。把坐標架關於z軸逆時針旋轉 θ 的旋轉變換：

$Lambda_{~~v}^{mu}=left( egin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {cos heta} & {sin heta} & {0} \ {0} & {-sin heta} & {cos heta} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {1}end{array} ight).$

沿 x 軸的推進變換(換到速度為v的慣性系)是

$Lambda^mu_{~~ u} = left(egin{matrix} gamma& -gamma v&0&0\ -gamma v&gamma&0&0\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1 end{matrix} ight).$

Lorentz 變換不變數：如果函數 f(x,p) 經過Lorentz變換 x= Λx, p= Λp ，得到 f(x,p) = f(x,p)，那麼它就是一個 Lorentz 不變數，又叫四維標量。兩個四維矢量的內積是 Lorentz 不變數。

Lorentz 不變的積分：（彎曲時空不對！！）如果 f(x,p) 是 Lorentz 不變數，那麼以下兩個積分

$int d^4 x~ f(x,p) ,~~mathrm{and}~~ int d^4 p~ f(x,p) .$

都是Lorentz 不變數。此處 p 的四個分量是獨立的，不滿足質殼關係。彎曲時空的相關推導，請參見 Sean M. Carroll 的 Spacetime and Geometry 第 2.10 節。

傅里葉變換、 Delta 函數

三維空間的傅里葉變換採用如下約定：

$mathcal{F}(mathbf{p}) = int {d^3 mathbf{x}} e^{-imathbf{p cdot x}} F(mathbf{x}) ,$

逆變換： $F(mathbf{x}) = int frac{d^3 mathbf{p}}{(2pi)^3} e^{imathbf{p cdot x}} mathcal{F}(mathbf{p}) .$

不同於數學上通常將 (2π)3 開方，這裡統一將它墊到動量積分元的底下。

Delta 函數的定義如下：

$delta^3(mathbf{x}) = int frac{d^3 mathbf{p}}{(2pi)^3} e^{imathbf{p cdot x}},$

把 e 指數上 i 前面的正負號改了也對。類似地，動量空間的 Delta 函數：

$delta^3(mathbf{p}) = int frac{d^3 mathbf{x}}{(2pi)^3} e^{imathbf{p cdot x}}.$

$delta^3(0)$ 在一般意義上是發散的。對全空間的積分可化成對體積 V 的積分：

$delta^3(mathbf{p}) Big|_{mathbf{p}=0} = int_V frac{d^3 mathbf{x}}{(2pi)^3} = frac{V}{(2pi)^3}.$

類似地，四維的傅里葉變換採用如下約定：

$mathcal{F}({p}) = int {d^4 {x}} e^{i{p cdot x}} F({x}) ,$

逆變換：

$F({x}) = int frac{d^4 {p}}{(2pi)^4} e^{-i{p cdot x}} mathcal{F}({p}) .$

這裡 e 指數上看起來改變了符號，但其實空間坐標的符號沒變。

四維 Delta 函數：

$delta^4(x) =int frac{d^4 {p}}{(2pi)^4} e^{pm i{p cdot x}},$

$delta^4(p) =int frac{d^4 {x}}{(2pi)^4} e^{pm i{p cdot x}}.$

那麼相應地，對 p=0 的情況，也有

$delta^4(0) = frac{VT}{(2pi)^4}.$

歸一化

對於相對論量子力學的多粒子態，這裡約定，歸一化到

$langle psi | psi angle=prod_{j}left(2 E_{j} V ight) = prod_j ig(2p_j^0 (2pi)^3 delta^3(mathbf{p}_j-mathbf{p}_j) ig) ig|_{p_j=p_j},$

j 代表第 j 個粒子， $E_j$ 是第 j 個粒子的能量。這樣歸一化的好處是，它在 Lorentz 變換下不變。下面簡單說明。

Lorentz 不變的體積元是

$d^{3} mathbf{p} / sqrt{mathbf{p}^{2}+M^{2}} , ag{1.1}$

Lorentz 不變的 delta 函數是

$sqrt{mathbf{p}^{prime 2}+M^{2}} delta^{3}left(mathbf{p}^{prime}-mathbf{p} ight)=p^{0} delta^{3}left(mathbf{p}^{prime}-mathbf{p} ight). ag{1.2}$

證明：（請參閱 S. Weinberg 的 The Quantum Theory of Fields VOL.1 第 2.5 節）

對四維動量積分時，默認 $p^0$ 是與空間分量 p 無關的。要表示符合物理實際的積分，必須乘上 Delta 函數。考慮真實的物理情形下，能量滿足在殼條件（on-shell）且能量為正， Lorentz 不變的四維動量積分：

$egin{aligned} int & d^{4} p deltaleft(p^{2}+M^{2} ight) hetaleft(p^{0} ight) f(p) \ &=int d^{3} mathbf{p} d p^{0} deltaleft(left(p^{0} ight)^{2}-mathbf{p}^{2}-M^{2} ight) hetaleft(p^{0} ight) fleft(mathbf{p}, p^{0} ight) \ &=int d^{3} mathbf{p} frac{fleft(mathbf{p}, sqrt{mathbf{p}^{2}+M^{2}} ight)}{2 sqrt{mathbf{p}^{2}+M^{2}}}. end{aligned} ag{1.3}$

其中 f(p) 是Lorentz 不變數。請自行證明被積式中的 Delta 函數和階梯函數都是 Lorentz 不變的。那麼既然 f 和整個積分都是 Lorentz 不變的，那麼式 (1.1) 就可以視作Lorentz 不變的體積元（其實這個表述是不對的，嚴謹的說法應該連同前面的積分符號）。

把 (1.3) 里的 f(p) 換成 $p^0 delta^3(mathbf{p-p})$ 得到 1/2, 是標量。因此 (1.2) 得證。

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下一期回憶散射理論，說說在相對論情形下怎麼修改。不過熟悉的那個單位立體角的微分散射截面，還得等幾天再出來。