6. 穩態誤差與系統類型
這一篇我們主要講講穩態誤差(steady-state error)和系統類型(system type)。這是經典控制中最為關心的系統性能指標之一。 經典控制在過去主要研究的是regulation的問題,穩態時的誤差大小是十分重要的指標。
我們研究regulation的問題時reference input是一個常數。而plant受到的擾動在很多時候也是一個常數偏差。即便是在通常的tracking問題中,也會有很多時候reference input 會保持在一個接近常數的水平,或者能夠被一個多項式(polynomial)所描述。
以電梯為例子,在沒到達指定樓層之前,電梯會有一個ramp function作為輸入,從而讓電梯有恆定速度。當然也可以保持恆定的加速度。
如此說來,研究多項式描述的參考輸入對系統的穩態誤差是具有意義的。
定義系統類型(type),是系統最高可以追蹤的信號的多項式的階次。比如step function 是0階多項式,ramp function是一個1階多項式,acceleration function是一個2階多項式。
Tracking問題的系統類型
對於一個單位反饋系統(unity
feedback system),plant 的傳遞函數為 ,控制器的傳遞函數為
,開環傳遞函數
,假設plant 的干擾和sensor的噪音為0,定義誤差為輸入端與輸出端之間的差,其Laplace變換為E(s):
如果E(s)是穩定的,那麼可以應用Final Value Theorem求得對多項式信號 穩態誤差:
以step function為例, ,那麼如果開環傳遞函數沒有0處的極點,也就是積分器
,那麼穩態誤差為:
其中定義了 為position constant。
如果系統的開環傳遞函數中只有一個積分器 ,那麼我們可以改寫上式為
其中 ,也就是我們把
給分離出去,讓
在
時為一個常數
,此時系統為Type 1,I型系統。
如果有多個積分器 ,那麼有
顯然如果 ,那麼穩態誤差就變為了0。
如果 那麼穩態為一個常數,系統為Type k。
否則
系統就無法track該多項式信號,最終發散。
定義系統類型的意義在於,如果系統的參數發生改變,而又不會移除開環系統在0處的極點,系統依舊會track同類型的多項式信號而保持收斂。在單位反饋下,系統類型是一種相對於系統參數變化的魯棒特性。 魯棒性是採用單位反饋的主要原因(非單位反饋是否具有這種特性,請自行驗證。)
Regulation問題的系統類型
對於regulator,我們要考察干擾對系統穩態誤差產生的影響。
我們假設參考輸入為0,那麼輸出誤差應該就是為0。但是如果加入了干擾,那麼此時的輸出就定義為誤差 ,Laplace變換為
。
同樣可以定義
顯然如果 ,那麼穩態誤差就變為了0。如果
,那麼穩態為一個常數,系統為type k型。否則,系統響應發散。
總結
我們假定系統閉環系統是穩定的的,對不同多項式信號的穩態誤差是可以由終值定理計算得到的。根據系統最多可以跟蹤的多項式的degree,來定義其型號type。系統型號是一種系統魯棒性的表現。
Reference
[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson
[2] 胡壽松,自動控制原理(第六版),2013,科學出版社
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