唯心識學061·簡單介紹一下球坐標系

徑向距離（Radial distance）是球面坐標點到球心的距離，用 r 表示。有時為了幫助理解，坐標點與球心的連線也可以直接用 r 表示。

極角（The polar angle）是 z 軸與 r 的夾角，一般用 θ 表示，它的取值範圍是 [0,π]，z 軸上任何點的極角都是 0 。

方位角（The azimuth angle）是赤道面（由 x 軸與 y 軸確定的平面）上起始於 x 軸，沿逆時針方向量出的角度，通常用 φ 表示。

可以將球面上的任意一點的三維直角坐標記做 P(x,y,z) ，球坐標記做 P(r,θ,φ) 。

球坐標 P(r,θ,φ) 與直角坐標 P(x,y,z) 之間的轉換關係可以表示為：

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

這是一個非常重要的轉換關係。其中 rsinθ 就是圖中 zP 到 P 的距離。

將 rsinθ 取 cosφ 就是 x 軸的坐標

將 rsinθ 取 sinφ 就是 y 軸的坐標

將 r 直接取 cosθ 就是 z 軸的坐標

這些內容很直觀，一點也不難，讀懂它們只需要一些耐心而已。

球面上任意一點都存在三個矢量方向，分別是：

1、徑向 er

2、極角方向 eθ

3、方位角方向 eφ

若球面上的任意一點 P 存在運動趨勢，那麼 P 點的瞬時運動方向一定可以用 er、eθ、eφ 的線性組合來表示。

接下來複習一下弧長的概念。（這裡只說圓周上的弧長）

我們都知道圓周長的公式為 C=2πR

因為一個圓周的弧度就是2π，所以：

弧長=弧度*半徑 ，即 L=αR 。

弧度與角度可不要弄混了，360°是角度，2π是弧度。

現在假設球面上的 P 存在一個微小的運動趨勢，我們應該怎麼表示呢？

可以將這個運動趨勢分解為三個方向的趨勢微元（這裡用微分表示），之後再組合就是了。

半徑 r 方向的趨勢微元顯然是 dr 。

極角方向的趨勢微元是 rdθ，其中半徑 r 是固定的，變化的只有極角 θ 。

方位角方向的趨勢微元是 rsinθdφ ，其中 rsinθ 是小圓半徑，是固定的，變化的只有方位角 φ 。

所以很顯然，組合之後的結果為

dr + rdθ + rsinθdφ

以上內容若能熟練掌握，球坐標系的基礎知識就暫時夠用了。

想看懂唯心識學中對史瓦西度規的解釋，以上這些內容可都是基礎。

推薦閱讀：