纖維上懸掛液滴的自由界面輪廓分析
纖維上可通過水蒸氣凝結等方式產生一個個結節狀的小液滴，這個小液滴的界面輪廓跟液體的表面張力有很大的關係。下面我們分析一下其輪廓方程。
假設纖維的接觸角為零，則液滴在纖維上的輪廓可以表示為下圖：
如圖a所示，假設液滴很小，不用考慮重力，那麼在表面張力作用下，液滴表面具有相同的表面曲率。即液面的Laplace方程滿足：
下面就是通過曲面曲率分析去求出這個具體的方程了。
上圖a中，在A點的兩個曲率R1和R2分別是AM和AN。其中，M點是A的平面內曲率中心，N是垂直於平面的曲率中心。其中AN是一直為正的，因為曲率中心都在中心線x軸上。AM依據界面的曲率中心的位置可正可負。如A『點，AN』就為負值。
上圖中的s是從左到右的曲線坐標，θ是界面法線與豎直方向的夾角。則R1和R2有如下關係：
代入公式1，即可得到如下方程：
對於曲線z(x), 有如下關係：
可以推出如下關係：
進一步推論可以得到：
由於
可以得到：
公式6
把上面公式3-6帶入可得曲面輪廓方程為：
公式7就是自由液面下，曲率處處相等的界面方程。對於二維的泡沫結構，曲率處處相等意味著泡沫的每條邊都為圓弧形。而對於三維的液滴形貌，維持其內部壓強相等的條件是液面的曲率處處相等。由於曲率有兩個值，其不一定相等，所以不是球形。其曲面必須滿足公式7中的方程。
公式7中的方程可以通過數學上積分去解。
但是，也可以通過對物理過程受力分析直接得到這個方程的解。
在x方向上，作用在一部分上液滴上的合力應該是為零的，比如圖1a中陰影部分x軸上的合力應該是為零的。
對外輪廓毛細作用力進行積分，為：
拉普拉斯附加壓強的作用力積分為：
纖維對液滴的作用力為：
三個力相加之和為0，既可以得出關係式為：
當z=L，且dz/dx=0，液滴有著最大的半徑，代入上式可以得到：
即，對於一個大液滴，液滴的內部的附加壓力等於：
由於b遠遠小於L，這時，液滴的附加壓力相當於一個半徑為L的球形液滴的附加壓力。
參考：De Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2013).Capillarity and wetting phenomena: drops, bubbles, pearls, waves. Springer Science & Business Media.
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