數理史上的絕妙證明：電子自旋是相對論性質 | 賢說八道
撰文 | 曹則賢（中科院物理所研究員）
01
量子力學方程的三個層次
提起量子力學，人們就會想起薛定諤（Erwin Schr?dinger, 1887-1961）方程
，以為薛定諤方程就是量子力學的基本方程。這個看法我曾有過，但我覺得它很不全面，如果不是很不正確的話。薛定諤方程於1925年底由薛定諤構造出來（那是個傳奇過程）並用於氫原子問題（相關內容於1926年分四部分發表），求得電子-質子體系中電子的能級滿足關係
。這個結果，再現了玻爾原子模型給出的氫原子中電子能級公式，但是更高明。玻爾的氫原子能級公式
是一個量子數 n 的函數，其中量子數 n 來自軌道量子化條件。雖然玻爾的氫原子能級公式很好地解釋了氫原子的光譜，但它依然是錯的。薛定諤的原子能級
是三個量子數的函數，量子數
是相關聯的。薛定諤方程是電子的量子力學方程的第一層次，波函數是單分量的。薛定諤1926年的論文的題目是「作為本徵值問題的量子化」，大概到1987年才算有人看出這題目的深意，雖然當時參與協助的外爾（Hermann Weyl）早就明白。
1927年，泡利 (Wolfgang Pauli, 1900-1958）為電子構造了泡利量子力學方程
，這裡的哈密頓量描述電子與電磁場之間的相互作用，
，其中（Φ ，A）是電磁勢，σ是所謂的泡利矩陣（見下文）。泡利矩陣是2×2矩陣，因此此處的波函數必是兩分量的，即要求
。泡利量子力學方程是電子的量子力學方程的第二層次，波函數是兩分量的，稱為旋量（spinor）。兩分量波函數足以描述電子這樣的自旋為1/2的粒子。
1928年，狄拉克（P. A. M. Dirac, 1902-1984）構建了關於電子的相對論量子力學方程。這其中關鍵的一步，類似做因式分解 x2+y2= (αx+βy)2 ，要求 αβ+βα=0，α2=β2=1， 前面的那個反對稱條件是非常強的限制。一個合理的選擇是α，β應為矩陣。狹義相對論考慮的是四維時空，最簡單的α，β應為4×4矩陣。常規的狄拉克方程寫法是
，其中
，
， i=1, 2, 3 ，其中σi是泡利矩陣。鑒於γμ都是4×4矩陣，則此處的波函數是4分量的。狄拉克量子力學方程是電子的量子力學方程的第三層次，它會告訴我們更多關於自然的奧秘。
02
二值問題、自旋與泡利矩陣
原子物理的研究，比如銀原子束在非均勻磁場中的分裂問題（圖1），原子譜線的雙線問題，引出了二值問題（two-valuedness），就是哲學上的一分為二的問題。這個問題的理解最後著落到電子擁有自旋標籤這個結論上。自旋的問題博大精深，自旋的發現是一場思維歷險，有興趣的讀者可以深入了解一下。如何描述一個二值問題呢？ 如果表現的二值是等價的，則表現的是特徵值， 用矩陣表示的話，應該用本徵值為1和-1的2×2厄密特矩陣來描述。但是，本徵值為1和-1那就意味著這矩陣的跡（trace）總為零。如果自旋是類似角動量的物理量的話，那自旋還要滿足角動量的代數
。綜合這幾項考慮，表述的問題那就幾乎沒有多少選擇了。這個描述電子自旋角動量的數學對象，就是泡利矩陣：
；
；
。
泡利矩陣所包含的內容就多了去了， 其中之一是它引領我們認識到，粒子的自旋是相對論性的。
圖1. 著名的Stern-Gerlach實驗，一束銀原子經過非均勻磁場後總是被分為了兩束(1922)
03
相對論度規
考察某四維空間，其中的距離由洛倫茲度規定義，即對於矢量 x= (x0，x1，x2，x3) ，其模平方為
。這樣的空間就是狹義相對論的閔可夫斯基空間。所謂的洛倫茲變換A，就是保洛倫茲度規的變換，要求保證 |Ax|2=|x|2 成立。
群的同構方面的知識，告訴我們這個空間有其它的表示方式。考察洛倫茲群同 SL(2，C) 群之間的同構關係，每個矢量x= (x0，x1，x2，x3)，可以表示成一個2×2自伴隨矩陣（就是厄米特矩陣）
，
有
，即這個矩陣的矩陣值再現了閔可夫斯基空間的洛倫茲度規。這個2×2自伴隨矩陣一樣構成了一個四維矢量空間，其四個正交基為
；
；
；
。
。明眼人可能已經注意到了，σ1，σ2，σ3 就是前述的泡利矩陣，而它們出現在閔可夫斯基空間的洛倫茲度規的表示中。這讓人們隱約感覺到，自旋與狹義相對論有關。
04
狄拉克方程下的角動量守恆
狄拉克的電子哈密頓量為
。根據我們一直堅信的經典力學和量子力學的信條，一個物理量同哈密頓量之間的量子對易式（經典力學語境下是泊松括弧）為零，則該物理量為守恆量。現在考察一個自由電子的角動量算符
（這就是經典的角動量定義）。可計算其任一分量同哈密頓量之間的對易式，
；可見
，也即自由電子的角動量不守恆。這是怎麼回事，一個自由的電子怎麼可能角動量不守恆呢？
如何消解這個矛盾？若假設電子具有大小?/2的內稟角動量，即自旋角動量矢量為
，則電子的總角動量為J=L+S。考察S的任意分量隨時間的變化，發現
。 這樣，我們得到了
，即算符 J=L+S 是守恆的。也就是說，若我們認定一個自由的電子其角動量應該是守恆的，那它就應該除了軌道角動
以外，還有個自旋角動量
。這就是人們常說的電子具有內稟角動量?/2，或者說電子是自旋1/2的粒子。在量子力學語境下引入的電子自旋這個概念，竟然憑藉相對論性的狄拉克方程獲得了存在的合理性。
05
多餘的話
有一種說法，近代物理的兩大支柱是量子力學和（狹義）相對論。我們看到，量子力學和（狹義）相對論是不分家的。它們有著某些千絲萬縷的聯繫，只是在學問的深處才體現出來。
在給出相應的量子力學方程時，薛定諤1926年39歲，泡利1927年時27歲，狄拉克1928年時26歲，他們除了有極強的物理直覺以外，還有紮實的數學基礎。這方面尤以泡利最為突出，他中學畢業時即有足夠的數學水平研究廣義相對論。泡利引入了泡利矩陣，其實那個矩陣據信在數學裡出現過。但是在1925年，海森堡（Werner Heisenberg, 1901-1976）甚至沒聽說過矩陣，多虧了大師玻恩（Max Born, 1882-1970）敏銳地注意到了海森堡推導的關於譜線強度的內容與矩陣演算法有關，這才有了所謂的矩陣力學（量子力學的一個別名）。數學，物理，很難說一個不懂數學的人做的物理算是物理。
關於物理的內容， 一方面描述自旋的泡利矩陣和洛倫茲度規有關係，另一方面（狹義）相對論量子力學方程的哈密頓量不能讓自由電子的角動量守恆，除非給電子的角動量加上內稟的角動量?/2，也就是說相對論量子力學方程要求電子有自旋。這兩點應該說沒有人為地往一起湊的痕迹。巧合指向同一結果，巧合便有了確切的意義。類似的巧合還發生在量子概念引入的過程中。普朗克從瞎猜的熵與內能關係得到了黑體輻射公式， 又從玻爾茲曼的統計物理原理出發得到了黑體輻射公式。兩個完全不同的假設，循著完全不同的路徑，得到了同一樣的公式，那就不是一般的巧合。那裡的假設，比如
為整數的假設，就必須被認真對待了。
為整數，那
就是頻率為
的光的能量單元。光的能量有最小單元
，這個結論嚇壞了提出者本人，普朗克自己也沒想到啊—普朗克後來一直被譽為「違背自己意願的革命家！」
筆者還注意到一個問題，電子的量子力學波函數是由1分量而2分量而4分量這麼擴展的，想起了數系是由unarion（實數）而binarion（複數）而quaternion（四元數）擴展的。可數還有octonion（八元數）啊，總覺得沒有8分量波函數的量子力學方程，量子力學就不完整。量子力學不完整，這世界也不完美。
建議閱讀
1. Erwin Schr?dinger，Quantisierung als Eigenwertproblem (量子化是本徵值問題)， Ann. Phys. 79, 361(1926)；79, 489(1926)；80, 437(1926)；81, 109(1926).
2. Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons (磁性電子的量子力學), Zeitschrift für Physik 43, 601-623(1927) .
3. P. A. M. Dirac, The Quantum Theory of the Electron， Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 117 (778), 610. (1928).
4. Sin-itiro Tomonaga, The story of spin, The University of Chicago Press (1997).
5. S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press (1994).
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