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【"數"你好看】餘數定理(Polynomial Remainder Theorem)

07-01

如果問 p(x)=2 x^{3}-7 x^{2}+5 除以 x-3 的餘數是多少，那麼很自然的想法就是除一下：

圖：長除法求解餘數

可以看到長除法很麻煩，計算量比較大、容易做錯，那麼下面介紹一個Remainder Theorem來快速解決：

如果要算一個多項式 p(x) 除以 (x-c) 的餘數，那麼只需要把 x=c 帶入到 p(x) 中，即 p(c) 就是所求餘數。針對上述例題， p(3)=2 imes3^3-7 imes 3^2+5=-4 。

下面給出證明：

一個多項式 p(x) 除以 d(x) 一定能表示成：

p(x)=d(x) imes q(x)+r(x)

其中， q(x) 為商， r(x) 為餘數。

記Deg(p(x))為多項式p(x)的度，即p(x)的最高次。

那麼一定有Deg(d(x))＞Deg(r(x))。因為如果Deg(r(x))≥Deg(d(x))，那麼說明還可以繼續除，直到Deg(d(x))＞Deg(r(x))。（類比， 13div4=3cdots1,4>1 。）

那麼如果除數d(x)=x-c是一個一次函數，那麼r(x)的次數必定為0，即r(x)是一個常數。

所以

p(x)=(x-c)q(x)+r ,

那麼，把x=c帶入上式中，

r=p(c).

給出一道關於餘數定理的題目：

根據多項式除法，設

P(x)=(x-19)(x-99) Q(x)+a x+b ，

(因為Def(d(x))=2,那麼r(x)≤1，可設為ax+b)

再根據p(19)=99,p(99)=19,

得到一個二元一次方程組：

99=P(19)=19 a+b

19=P(99)=99 a+b

可解得， oxed{r(x)=-x+118} .

不過長除法還是要掌握的，比如2017-DMM-Devil Round-8

用長除法可以得到余項為 3x-3 ,則 ab=-9 .

在餘數定理中，特別的，當p(x)除以x-c，餘數r=0時，則有因式定理

p(c)=0，當且僅當(x-c)是p(x)的一個因子，即p(x)=(x-c)q(x)。

可以發現，因式定理是餘數定理的一個特殊情況。進一步，下面四種表述是等價的：

c是多項式p(x)的一個零點;（c is a zero of p(x)）；

x=c是方程p(x)=0的一個根; (x=c is a solution of the equation p(x)=0)；

x-c是多項式p(x)的一個因式; (x-c is a factor of p(x))；

c是多項式p(x)的橫截距; (c is an x-intercept of the graph of p(x))。

從不同的角度，可以有不同的理解，在試題中我們會遇到各種不同的表述，不過抓主本質還是最重要的。

一己拙見，歡迎交流指正~~

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