愛因斯坦的公式E=mc^2 和動能公式 E_K＝mv2/2 是什麼關係？

05-30

兩個公式看起來很像，會不會有什麼關聯呢？

是的，有關係。

先看相對論形式的動能表達式。由洛倫茲變換可以知道，能量的表達式為：

$E=sqrt{p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}$ ,

對這個式子可以做個變形，根據

$p=mv$ 以及 $m=frac{m_{0}}{sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$ ,

能量的式子可以寫成：

$E=mc^{2}$ ,

這裡， $m$ 和 $m_{0}$ 分別為物體的動質量和靜質量。特別的，當物體不運動時，可以發現能量也不為零（對於有靜質量的物體）：

$E_{0}=m_{0}c^{2}$ ,

即所謂的靜止能。自然的，物體動能可以定義為物體的能量與靜止能的差值：

$E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$ .

考慮低速極限，即 $vll c$ , 根據泰勒公式有：

$(1-frac{v^{2}}{c^{2}})^{-1/2}approx 1+frac{1}{2}frac{v^{2}}{c^{2}}$ ，

因此動能可以近似為：

$E_{k}=m_{0}c^{2}(1+frac{1}{2}frac{v^{2}}{c^{2}})-m_{0}c^{2}=frac{1}{2}m_{0}v^{2}$ ,

這就是牛頓力學中的形式。

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相對論動能公式Ek=mc2－moc2和牛頓動能公式Ek=?mv2兩者之間是由關係的。教材中已經給出了在v＜＜c的情形下，相對論和牛頓力學動能之間的關係，

Ek=mc2－moc2≈?mov2.

實際上，Ek=mc2－moc2有意義的不是和mov2之間有關係，而是和mv2的關係。

通過對相對論動能公式的推導，我們可以發現mc2－moc2和mv2之間存在函數關係。

i. 當v＜＜c時，m→m0

mc2-m0c2≈?m0v2≈?mv2

ii. 當v→c時 m＞＞m0

mc2-m0c2≈mc2≈mv2

iii. 當v＝c時，m0＝0

mc2-m0c2＝mc2＝mv2

因而無論如何，mc2-m0c2總與mv2存在著函數關聯，

mc2-m0c2 ∝ mv2

設它們的關聯繫數為k，則上式可改為等式

mc2-m0c2＝kmv2

利用質速關係m＝m0/√1-v2/c2，消去m0，解得

k＝1/1+√1-v2/c2

因而，mc2-m0c2與mv2之間的關係為

mc2-m0c2＝mv2/1+√1-v2/c2.

於是，我們得到相對論動能公式的另一表達式

Ek＝mv2/1+√1-ν2/c2.

當v＜＜c時，便可得到Ek≈?mv2，

當v→c時，便得到另一動能公式

Ek=mv2

由此我們看來，動能公式的係數是變化的，在低速情形下，接近於?，而在接近光速c的時候，係數為1，其它則在兩者之間。

$mc^{2}$ 是質量為m的物體靜止狀態時的能量。

以速度為v運動的物體總能量是 $mc^{2} imesfrac{1}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

用數學辦法得上式子近似為mc2+1/2mv2 （不想編輯公式了）

m指的是物質的停止質量和運動質量之和。光子沒有停止質量，具有運動質量（依據狹義相對論，停止質量大於零的粒子的速度永遠無法到達光速）。這兒的C能夠理解為能量和質量兩者之間的換算常數（當然光速是要平方的），否則解說物質的停止質量能夠轉化為能量時就比較麻煩了。質能方程和經典力學中的動能公式沒有必定的聯絡，不要將這兩者混在一同，他們屬於不同的理論結構。質能聯繫mass-energy relation 慣性質量與總能量間的聯繫。質能聯繫用公式表述為：ΔE=Δmc^2或E=mc^2，其間E是物質的能量,m是物質的質量，c是真空中的光速，ΔE是能量的改動量, Δm是質量的改動量。這個聯繫式是狹義相對論的重要成果之一。對質能聯繫的查驗是經過丈量能量（及質量）的轉化進程實現的。在轉化進程中物體的動能改動量ΔEk與停止質量的改動量Δmo 在數量上由質能聯繫和能量守恆定律給出:ΔEk＝Δmoc^2。一般情況下，物體停止質量的改動量Δmo 與它的停止質量mo 相比簡直小得無法觀測出來, 但在原子核反響中，這種改動則明顯地表現出來。在核裂變反響和核聚變反響中釋放出的巨大能量，十分精確地證明了質能聯繫的正確性。

當外力作用在停止質量為m0的自在質點上時，質點每閱歷位移ds，其動能的增量是dEk=F·ds，假如外力與位移同方向，則上式成為dEk=Fds，設外力作用於質點的時刻為dt，則質點在外力衝量Fdt作用下，其動量增量是dp=Fdt，考慮到v=ds/dt，有上兩式相除，即得質點的速度表達式為v=dEk/dp，亦即 dEk=vd(mv)=V^2dm mvdv，把愛因斯坦的質量隨物體速度改動的那個公式平方，得m^2(c^2-v^2)=m02c^2,對它微分求出：mvdv=(c^2-v^2)dm，代入上式得dEk=c^2dm。上式說明，當質點的速度v增大時，其質量m和動能Ek都在添加，質量的增量dm和動能的增量dEk之間始終保持dEk=c^2dm所示的量值上的正比聯繫。當v=0時，質量m=m0，動能Ek=0，據此，將上式積分，即得∫Ek0dEk=∫m0m c^2dm（從m0積到m）Ek=mc^2-m0c^2
上式是相對論中的動能表達式。愛因斯坦在這裡引入了經典力學中從未有過的共同見地，他把m0c^2叫做物體的停止能量，把mc^2叫做運動時的能量，咱們分別用E0和E表明：E=mc^2 , E0=m0c^2

參考：回答者：低語的耶西 - 秀才二級不能。首要，既然E=mc^2，那麼E和m是成正比的，所以，假如一個系統中能量總和是必定的，那麼質量總和也是必定的，反過來也建立，也就是說，能量守恆和質量守恆必定一起建立或一起不建立。接下來，咱們來看看能量守恆。在相對論效應明顯的環境下，Ek=0.5mv^2這個功用公式不適用，而應該是Ek=E-E0，其間E=mc^2，E0=m0c^2，m0指的是物體停止的質量，m指的是物體運動時的質量。物體運動時，質量會比停止時分大一些，m=m0/根號下(1-v^2/c^2)。事實上，Ek=E-E0實際上就是根據能量守恆而推出來的。也就是說，在考慮相對論的時分，咱們仍然以為能量守恆仍然建立，被否定的則是牛頓力學中的那些東西，比方動能公式、動量公式等在相對論條件下都會變得愈加雜亂，它們需要在相對論和能量守恆的基礎上進行重新推導。

大學物理(吳百詩主編)第二冊，有詳細的推導過程，嗯。

假設我們在觀察一條徑直的路，坐在路上的人覺得他是直的，飛在天上的看到他是曲的。

誰對呢？很難說。

在追求真理的路上，有些人只停留在身邊的一方天地，牛頓則看到了整個地球，而愛因斯坦看到了一片宇宙。

理論總是一代兼容一代，不斷逼近真理，只可惜我們是如此渺小，只初窺門徑，便耗盡千年光陰。

跑題了跑題了

樸實的說，動能定理是質能方程在小尺度下的弱化，低配版留給低配的需求