[002]散射理論初探 (2)：散射截面

05-07

散射截面

從量子力學

里學過的散射截面出發。散射截面是描述散射過程的物理量，在實驗中是可以復現的，也就是說，同樣一個散射過程，不同的實驗室得到的結果是差不多的。它定義為單位時間內，發生散射的粒子個數和入射粒子流（入射粒子可看作平面波）的比值。

$sigma = frac{1}{T} frac{1}{Phi}N.$

入射粒子流密度Φ等於粒子數密度乘上粒子的速度。有時候還會用到歸一化的入射粒子流密度，即 $Phi = |mathbf{v}|/V$ . 這樣把入射粒子看成「一個粒子」，散射截面相應地改為

$sigma = frac{1}{T} frac{1}{Phi}P = frac{V}{T} frac{1}{|mathbf{v}|}P.$

這裡的概率 P 就是單個入射粒子散射的概率。

實際散射過程中，出射粒子是用多台放在不同出射方向上的探測器探測到的，所以也會用到微分

散射截面。只相當於兩邊加上字母 d ：

$d sigma = frac{V}{T} frac{1}{|mathbf{v}_1 - mathbf{v}_2|} dP. ag{1.4}$

式中出態的速度換成 $|mathbf{v}_1 - mathbf{v}_2|$ 是考慮到質心繫的散射，兩種入射粒子都有速度。（是相對速度嗎？）下面探討 dP 怎麼表示出來。

如果設入態（平面波）為 $|i angle$ ，出態為 $|f angle$ ，（歸一化按上節所述）入態到出態的概率表示為：

$P_{i o f} = frac{ig|langle f| S | i angle ig|^2}{ig|langle f| f angle ig|^2 ig|langle i| i angle ig|^2}$ .

中間這個算符叫 S 矩陣算符 。此時由於出態是在某一個出射方向探測到的，因此經過足夠遠的距離可以看做平面波。這樣可以解釋這個演化的概率為什麼不直接用 $ig|langle f| i angle ig|^2$ 表示，因為如果動量方向不同的話，這個量子態的內積成零了。至於這個 S 矩陣如何定義，容後再敘。

那麼對於每種出射動量，微分的散射概率就很容易地表示為：

$d P=frac{|langle f|S| i angle|^{2}}{langle f | f anglelangle i | i angle} d Pi，$

其中 $d Pi$ 是相空間的「體積元」。

$d Pi=prod_{j} frac{V}{(2 pi)^{3}} d^{3} p_{j}.$

j 表示出射粒子的序號。現在我們要把 V 和 T 消去，只能藉助 Delta 函數。考慮到4-動量守恆（稍後詳細說明）的要求，S 矩陣可以做如下分解：

$S=mathbb{1}+i mathcal{T}.$ 其中

$mathcal{T}=(2 pi)^{4} delta^{4}(Sigma p) mathcal{M}.$

上式里的 $sum p = sum p_f - sum p_i$ 。 $mathcal{T}$ 叫轉移矩陣， $mathcal{M}$ 叫散射振幅。一般 $|langle f|mathcal{M}| i angle|^{2}$ 簡寫為 $|mathcal{M}|^{2}$ 。由此，

$langle f|S-1| i angle= i(2 pi)^{4} delta^{4}(Sigma p)langle f|mathcal{M}| i angle.$

我們一般不考慮出態與入態的動量大小和方向都相同的情形，因為這樣相當於沒有散射。對於出入態動量不同的情況， $langle f| i angle=0$ ，

$egin{aligned}|langle f|S| i angle|^{2} &=delta^{4}(0) delta^{4}(Sigma p)(2 pi)^{8}|langle f|mathcal{M}| i angle|^{2} \ &=delta^{4}(Sigma p) T V(2 pi)^{4}|mathcal{M}|^{2}. end{aligned}$

考慮到入態兩個粒子，歸一化到 $(2E_1V)(2E_2V)$ ；出態 j 個粒子，歸一化到 $prod_j (2E_j V)$ 。散射概率化為

$egin{aligned} d P &=frac{delta^{4}(Sigma p) T V(2 pi)^{4}}{left(2 E_{1} V ight)left(2 E_{2} V ight)} frac{1}{prod_{j}left(2 E_{j} V ight)}|mathcal{M}|^{2} prod_{j} frac{V}{(2 pi)^{3}} d^{3} p_{j} \ &=frac{T}{V} frac{1}{left(2 E_{1} ight)left(2 E_{2} ight)}|mathcal{M}|^{2} d Pi_{mathrm{LIPS}}. end{aligned}$

其中積分元稱為 Lorentz 不變的相空間 (Lorentz Invariant Phase Space) 體積元, 它等於

$d Pi_{mathrm{LIPS}} equiv prod_{ ext { final states } j} frac{d^{3} p_{j}}{(2 pi)^{3}} frac{1}{2 E_{p_{j}}}(2 pi)^{4} delta^{4}(Sigma p).$

把這個散射概率代回 (1.4) 式，得到沒有 V 和 T 的散射截面：

$d sigma=frac{1}{left(2 E_{1} ight)left(2 E_{2} ight)|mathbf{v}_1 - mathbf{v}_2|}|mathcal{M}|^{2} d Pi_{mathrm{LIPS}}.$

最後一個問題：對於相對論粒子，「相對」速度 $|mathbf{v}_1 - mathbf{v}_2|$ 還是原來的形式嗎？一般我們要求，散射截面 $sigma$ 是 Lorentz 不變數。而由於

$sigma = int dsigma = int frac{1}{left(2 E_{1} ight)left(2 E_{2} ight)left|vec{v}{1}-vec{v}{2} ight|}|mathcal{M}|^{2} d Pi_{mathrm{LIPS}},$

而積分元是 Lorentz 不變的積分元，因此要求被積式也是 Lorentz 不變數。在準確定義 S 矩陣後，可以發現，如果對所有自旋狀態求和，散射振幅 $|mathcal{M}|^2$ 是 Lorentz 不變數。這樣要求 ${left(2 E_{1} ight)left(2 E_{2} ight)|mathbf{v}_1 - mathbf{v}_2|}$ Lorentz 不變。此外，還要求在一種入射粒子的靜止系， $|mathbf{v}_1 - mathbf{v}_2|$ 是另一種入射粒子的速度。符合上述要求的「相對速度」只有一個，那就是 $sqrt{(p_1cdot p_2)^2 - m_1^2 m_2^2} /(E_1 E_2)$ .

請自行證明，在質心繫中，「相對」速度仍保持原來的形式。同時可以導出一個結論：它不代表真實的速度，因為對於相向撞擊的兩束相對論粒子，質心系裡這個速度約等於光速的兩倍。

後面講散射理論的應用：反應率、特定方向上的微分散射截面 $frac{dsigma }{d Omega}$ 、非相對論的相互作用勢。

參考書目

Quantum Field Theory and the Standard Model, M.D.Schwartz 第 5.1 節

The Quantum Theory of Fields VOL.1, S. Weinberg 第 3.4 節