再談 Jordan-Wigner 變換

04-25

我們在之前的文章中介紹了 Jordan-Wigner 變換這一自旋到費米子的變換。

ren：Jordan-Wigner變換—費米子與自旋間的橋樑?

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通常來說，Jordan-Wigner 變換的作用是將自旋算符變成費米子算符：

$sigma_{i}^{+}leftrightarrow K_{i}c_{i}^{dagger}, sigma_{i}^{-}leftrightarrow K_{i}c_{i}$

其中我們很自然地將自旋升降算符化為費米子產生湮滅

算符，再添上一項保證對易關係的鏈算符 $K_{i}$ 。

需要注意的是，Jordan-Wigner 變換是一個非局域的變換。由此變換聯繫起來的自旋和費米子模型有相同的能譜（相應的也有相圖的相圖），但除此之外一些定義在局域的物理量往往會發生很大的變化。一個典型就是橫場伊辛模型：

$hat{H}=sum_{i}left(J_{1}sigma_{i}^{x}sigma_{i+1}^{x}+J_{2}sigma_{i}^{z} ight)$

相應經過 Jordan-Wigner 變換後的費米子模型(Kitaev chain)：

$hat{H}=J_{1}sum_{i}left(c_{i}^{dagger}c_{i+1}+c_{i}c_{i+1}+h.c. ight)+J_{2}sum_{i}left(2c_{i}^{dagger}c_{i}-1 ight)$

兩者有相同的能譜和相變點，但後者存在對稱性保護的拓撲超導相，相應的在邊緣會有 Majorana zero mode，但在橫場伊辛模型中就看不到這點。這一度使筆者對 Jordan-Wigner 變換感到十分失望，似乎這種保能譜的變換完全把系統的其他物理性質破壞了。但事實上，在希爾伯特空間的角度看， Jordan-Wigner 變換可以看作自旋與費米子希爾伯特空間的同構映射。因此事實上這個變換幾乎不會改變系統的任何性質，只是在兩個希爾伯特空間中，局域算符的定義發生了改變，我們後面會討論這種改變對於拓撲的影響。現在，我們首先思考幾個問題。

Jordan-Wigner 變換是什麼變換？

注意到 Jordan-Wigner 變換將自旋模型變為了費米子模型，其中隱含了希爾伯特空間的改變。因此，嚴格來說， Jordan-Wigner 變換應當被視作自旋希爾伯特空間到費米子希爾伯特空間的線性映射。

回想起來，我們在做 Jordan-Wigner 變換時經常忽視這種希爾伯特空間的改變。事實上，我們很多時候確實不需要考慮這種改變，因為自旋希爾伯特空間和費米子希爾伯特空間是同構的，並且有自然的同構映射：

$T:mathscr{H}_{spin} ightarrowmathscr{H}_{fermion}$

$Tleft|sigma_{1}^{z},cdots,sigma_{N}^{z} ight angle _{spin}=left|n_{1},cdots,n_{N} ight angle _{fermion}$

$n_{i}=frac{sigma_{i}^{z}+1}{2}$

相應的，同構映射自然給出每個線性空間上運算元的同構：

$TO_{spin}left|psi ight angle _{spin}=O_{fermion}Tleft|psi ight angle _{spin}$

$O_{fermion}=TO_{spin}T^{-1}$

事實上，相應線性運算元的同構關係就是 Jordan-Wigner 變換。即：

$egin{cases} Tsigma_{i}^{+}T^{-1} & =prod_{j<i}left(1-2c_{j}^{dagger}c_{j} ight)c_{i}^{dagger}\ Tsigma_{i}^{-}T^{-1} & =prod_{j<i}left(1-2c_{j}^{dagger}c_{j} ight)c_{i} end{cases}$

不甚嚴謹的證明：

我們只需要在自旋 z 方向即費米子佔據數的基矢上證明這個結論，對於任意基矢：

$left|psi ight angle _{spin}=left|sigma_{1}^{z},cdots,sigma_{i}^{z},cdots,sigma_{N}^{z} ight angle _{spin}$

我們取 $O_{spin}^{+}=sigma_{i}^{+},O_{spin}^{-}=sigma_{i}^{-}:$

$O_{spin}^{+}left|psi ight angle _{spin}=left(frac{1-sigma_{i}^{z}}{2} ight)left|sigma_{1}^{z},cdots,+1,cdots,sigma_{N}^{z} ight angle _{spin}$

$O_{spin}^{-}left|psi ight angle _{spin}=left(frac{1+sigma_{i}^{z}}{2} ight)left|sigma_{1}^{z},cdots,-1,cdots,sigma_{N}^{z} ight angle _{spin}$

同構變換後：

$Tleft[left|psi ight angle _{spin} ight]=left|n_{1},cdots,n_{N} ight angle _{fermion}$

$Tleft[O_{spin}^{+}left|psi ight angle _{spin} ight]=left(1-n_{i} ight)left|n_{1},cdots,1,cdots n_{N} ight angle _{fermion}$

$Tleft[O_{spin}^{-}left|psi ight angle _{spin} ight]=n_{i}left|n_{1},cdots,0,cdots n_{N} ight angle _{fermion}$

運算元同構關係要求：

$O_{fermion}^{+}left|n_{1},cdots,0,cdots n_{N} ight angle _{fermion}=left|n_{1},cdots,1,cdots n_{N} ight angle _{fermion}$

$O_{fermion}^{-}left|n_{1},cdots,1,cdots n_{N} ight angle _{fermion}=left|n_{1},cdots,0,cdots n_{N} ight angle _{fermion}$

考慮到費米子的對易關係，費米子空間上的同構運算元只能取形式：

$egin{cases} O_{fermion}^{+} & =sum_{j<i}left(1-2c_{j}^{dagger}c_{j} ight)c_{i}^{dagger}\ O_{fermion}^{-} & =sum_{j<i}left(1-2c_{j}^{dagger}c_{j} ight)c_{i} end{cases}$

證畢。

Jordan-Wigner 保留了什麼？

我們看到， Jordan-Wigner 變換是一個同構映射，由同構映射聯繫起來的自旋和費米子模型有完全相同的數學結構。因此，當我們僅將希爾伯特空間視作一線性空間，任何線性代數的結果都是不變的，我們只需要在轉換時帶上同構映射：

$egin{cases} Tleft|psi ight angle _{spin} & =left|psi ight angle _{fermion}\ TO_{spin}T^{-1} & =O_{fermion} end{cases}$

因此，我們可以說，任何的線性代數結果在 Jordan-Wigner 變換下不變，包括但不限於：

態與算符：態的演化，算符的演化，算符期望值，關聯函數……
糾纏信息：約化密度矩陣，子系統糾纏熵，交互信息熵，以及相應的時間演化……

Jordan-Wigner 改變了什麼？

雖然我們欣喜地看到， Jordan-Wigner 事實上保留了大量的信息，但它還是改變了許多性質。這種改變本質原因是，雖然自旋希爾伯特空間與費米子希爾伯特空間在線性空間的意義上同構，由於自旋與費米子有不同的對易關係，其上的物理是完全不同的。一個特別突出的問題便是局域性的定義。

對於自旋系統，我們將形如 $sigma_{i}^{alpha}, alpha=x,y,z$ 這樣定義在單格點上的算符視作局域算符；而對於費米子系統，我們將 $f_{i}^{dagger},f_{i}$ 這樣的單格點算符視為語句算符。但在同構映射下，這兩種定義是矛盾的！這直接導致依賴算符局域性的物理在這個同構變換下失效。包括但不限於：

希爾伯特空間的特殊對稱性：費米子的 particle-hole 對稱性，自旋的 SU(2) 對稱性......
算符空間位置的信息：算符是否存在長程關聯，算符的語句性......
局域算符的傳播：反時序關聯(OTOC)的形式，Lieb-Robinson bound......

因此對於伊辛模型/Kitaev chain 的拓撲改變，我們至少有兩種觀點解釋這種改變：

Kitaev chain 的拓撲是 particle-hole 對稱性保護下的拓撲態，而對自旋模型沒有這種對稱性保護。
Kitaev chain 拓撲直接體現是邊緣出現局域的零能 Majorana 算符, 而經過同構映射後雖然存在這種零能算符，但在自旋意義下這兩個算符不在局域，而是耦合在了一起，這種耦合導致拓撲的消失。