學會這道難題，數列和平均數將不再是問題（19年1月2日）
家長是孩子最好的老師，
這是奧數君第725天給出奧數題講解。
今天的題目是邏輯推理問題，
本題所用知識不超過小學5年級。
題目（5星難度）
小明和小紅一起分到了一個新的班級，
班上同學的學號是1,2,3…連續排列。
小明問小紅：咱們班有多少名同學？
小紅說：我的學號是1。
小明又問：你還知道什麼呢？
小紅說：你的學號是18，小李的是19。
小明說：可我還是不知道總人數。
小紅說：除你和我之外，其餘同學的學號平均數是整數。
小明恍然大悟：我知道學生數了。
請問班上有多少名學生？
講解思路：
這道題雖然是邏輯推理，
但應用數列和數論的知識更多。
為解題方便假設有n名學生，
逐漸列出n需要滿足的條件，
然後根據平均數是整數求解。
步驟1：
先思考第一個問題，
小李學號是19能說明什麼？
這個問題比較簡單，
由於學號是按順序排列的，
有一個同學的學號是19了，
因此班上學生數n不小於19。
步驟2：
再思考第二個問題，
除小紅和小明外，
其餘同學的學號平均數是多少？
共有n名同學，
學號數的總和是n(n+1)/2。
小紅和小明的學號數和是1+18=19，
故其餘同學的學號和是n(n+1)/2-19，
除小紅和小明外有n-2名同學，
因此其餘同學的學號平均數是：
[n(n+1)/2-19]/(n-2)
=[n(n+1)-38]/[2(n-2)]。
步驟3：
綜合上述幾個問題，
考慮原問題的答案。
由於其餘同學的學號平均數是整數，
結合步驟2的結論知道，
n(n+1)-38一定是n-2的整數倍，
而n(n+1)-38
=n(n-2)+3n-38
=n(n-2)+3(n-2)-32,
因此32一定是n-2的整數倍，
從步驟1中知道n不小於19，
故n-2不小於17。
則n-2隻能是32，即n=34，
代入步驟2中檢查可得，
其餘同學的學號平均數是18，
滿足給定的條件。
所以班上共有34名學生。
注:由於步驟2中是除以2(n-2)，
而推導過程只考慮n-2，
中間差了一個2，
因此一定要代入步驟2中檢查。
思考題（4星難度）：
原題目中如果去掉小李學號是19的條件，其餘條件不變。小明還能唯一確定班上的學生數么？
獲得思考題答案方法：
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註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。
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