第一次量子革命：波和粒子的統一 | 眾妙之門
作者：文小剛，麻省理工學院終身教授、格林講席教授
物理學的四次革命
我們在探索自然的過程中，會發現很多奇妙的現象，我們也發展了很多漂亮的理論來解釋這些現象。隨著發現越來越多，也會有越來越多的理論。這時，我們就想把這些不同的理論統一起來，得到一個更加全面更加深刻的理論，用它來理解更多的現象。物理學就是這樣在「發現、統一、再發現、再統一」的循環中，一次又一次登上人類認知的巔峰。
每一次大統一，都代表一次物理革命，都給我們帶來一個新的世界觀，使我們以全新的眼光來看世界。這一新眼光就像為瞎子賦予視覺，展示了一個全新的景象。每次物理革命帶來的認知的角度是如此之新，連我們描寫自然的語言都必須是全新的，所用的數學也都是全新的。可以說，每次物理革命都給我們帶來了脫胎換骨的升華。
第一次物理學革命是牛頓的力學革命。 牛頓統一了兩個似乎毫不相關的自然現象：夜空中行星的位移和地面上蘋果的墜落。他用萬有引力和力學理論統一地解釋了這兩個很不同的現象。更重要的是，他提出了一個世界觀來理解萬物：所有物質都是由粒子組成的，而這些粒子的運動滿足牛頓方程。這使得牛頓力學成為理解萬物的普適理論。當牛頓發展他的理論時，描寫這個理論的數學語言還沒有發明。牛頓不得不又當一個數學家，發展了這一套數學理論——微積分。這是最高層次的發現和創新。牛頓既做物理學家又做數學家，非常不容易。
第二次物理革命是麥克斯韋的電磁革命。它把電、磁和光這三種看起來很不相同的物理現象給統一起來了。麥克斯韋先統一了電和磁，發明了麥克斯韋方程。他發現麥克斯韋方程的波動解——電磁波的波速——和當時測的光速差不多。於是，麥克斯韋又提出電磁波就是光，把電、磁和光都統一了。第二次物理革命更加本質的地方在於發現了一種新的物質形態：波形態物質。和牛頓的粒子形態物質不同，波形態物質運動不是由牛頓方程來描寫，而是由麥克斯韋方程來描寫的（見《光的奧秘和空間的本源》）。
第三次革命是愛因斯坦的相對論革命。愛因斯坦指出，引力作用其實來源於時空的扭曲。在更深的層次上，相對論革命發現了第二種形態物質——引力波。引力波不是別的，就是時空扭曲的波動。引力波的運動也不是由牛頓方程來描寫的，而是由愛因斯坦方程描寫。
從此以後，我們認為世界上有兩種形態的物質：粒子形態物質和波形態物質。粒子形態物質之間的各種相互作用是由各種波形態物質所引起的。描寫波形態物質的理論，麥克斯韋理論，愛因斯坦廣義相對論及其後來的一個推廣——楊-米爾斯理論，也需要一個新的數學語言——纖維叢理論——來描寫。纖維叢理論描寫了時空本身和時空上的場的幾何扭曲。其後，這種以幾何眼光看世界的理論就成為理論物理的主流（見《追求對稱之美：楊振寧超越他諾獎的貢獻 | 附量子糾纏新觀念 》（上、下））。
第四次物理革命應該是量子革命。量子力學是非常非常深刻的革命，也是最具有顛覆性的物理革命。但它不是一個人搞出來的，而是一大群人的共同成果。量子革命給我們帶來了最深刻的變革，它統一了粒子形態物質和波形態物質。它告訴我們，我們世界的真實物質只有一種形態：波粒形態。也就是說物質的存在形式又是粒子，又是波；又不是粒子，又不是波。這篇文章我們將著重介紹這種不可思議的存在形式，介紹我們世界中的存在為什麼有如此詭異的性質。
作為一個全新的理論，量子力學的數學基礎是線性代數，把微積分、纖維叢這些幾何分析理論給扔掉了，由幾何變成了代數。所以說量子力學之後，我們開始以代數的眼光來看世界。這是一個全新的眼光，它所帶來的變革，目前還在繼續發生與深化。
什麼是粒子?
物理的研究對象是世界上各種各樣的存在。牛頓力學的根基是認為粒子是存在的基本形態。認為其它的物質都是由粒子組合的。粒子這一存在，可以有很多狀態。如粒子可以有不同的位置，用三個數
（三個方向的坐標）來描寫。這馬上就產生一個問題：這三個數是不是對一個粒子的狀態的完備描寫？是不是代表一個粒子狀態的全部信息？為了回答這個問題，我們需要問，知道了這三個數，知道了粒子的位置，是不是就能確定粒子將來的運動軌跡？答案是不能夠。所以描寫粒子位置的這三個數不是粒子狀態的全部信息，只代表部分信息。要完全地描寫一個粒子的狀態，我們需要六個數：三個數是位置
，三個數是速度
（速度在三個方向上的分量）。這六個數完全描寫了粒子的狀態，決定了粒子將來的運動軌跡。也就是說，如果我們知道現時刻（時刻t ）的粒子狀態：
，我們就可以通過牛頓定律得到下一時刻（時刻
）的粒子狀態：
其中
是粒子所受的力。上面就是牛頓力學的基本內涵。我們看到牛頓力學是建立在對粒子存在和對其狀態描寫的基本認知之上，加上對狀態演化的描寫（也就是對將來的預言能力），我們就得到了一個完整的物理理論。
牛頓（左）、麥克斯韋（右）
粒子不是粒子，波不是波
可是上面對粒子存在的基本認知和對其狀態的描寫，僅僅是我們頭腦中的一個想像、一個模型。通過對微小粒子（如電子）的細緻精確的實驗，我們發現，真實的粒子完全不像上面描寫的那樣。牛頓力學並沒有描寫我們這個世界中真實存在的粒子。
名正則言順。為了區分這些不同的概念，我們把上節所描寫的粒子叫做經典粒子，而把我們世界中真正存在的粒子叫做量子粒子。這樣我們就可以清楚地說：經典粒子在我們這個世界中並不存在，其純粹是我們頭腦中所想像的東西。而在我們世界中真正存在的粒子是量子粒子。
普朗克（左）、愛因斯坦（右）
我們對量子粒子的認識，始於普朗克對黑體輻射，也就是高溫物體發光光譜的研究。人類對光的認識的發展有好幾次質的改變。這一次次對光的不同認知反映了人類文明的發展歷史。早期牛頓提出了光的粒子說，認為一束光就是一束粒子。到麥克斯韋電磁革命之後，大家都確信光是一種波。但普朗克發現，為了解釋高溫物體發光光譜，他必須假設光波的能量不是連續的。具體地說，頻率為 f 的光的能量只能是 hf 的整數倍，其中 h 就是有名的普朗克常數。這相當於要求光波的振動幅度只能取一些離散的值。為什麼一個波的振動幅度只能取一些特殊的離散值？這是非常不可思議的。
圖1 光電效應實驗：把兩個金屬電極密封在抽真空的玻璃管中，在兩個電極之間加一個電壓，當光照到一個金屬電極上，被衝出的電子要克服兩個電極之間的電壓差才能走到另一個電極，從而在迴路中產生電流。所以調節兩電極之間的電壓，就可以測出被衝出電子的最大能量。人們發現電子的能量和光的強度無關，但和光的頻率有關。這是一個非常令人吃驚的發現。因為根據直覺應該是光強越強被衝出來的電子能量越高。
後來愛因斯坦引入了光子的概念來解釋這一光波能量量子化的現象。光子不僅能解釋黑體輻射光譜，同時也解釋了新的光電效應。所謂光電效應就是當光照射在金屬表面時，會從金屬中衝出電子。人們吃驚地發現，被衝出電子的最高能量和光的強度無關，只和光的頻率有關，光強隻影響被衝出電子的數量（圖1）。當我們把光的頻率增加 Δf 時，被衝出電子的能量也增加 hΔf。如果我們把光看作一束粒子，其每個粒子帶的能量為 hf，我們就很容易解釋觀測到的光電效應：金屬中的電子吸收一個光子，獲得 hf 能量。光的頻率增加 Δf 時，電子獲得的能量也增加 hΔf，這正是我們觀測到的現象。所以光電效應告訴我們：光是一束粒子，每個粒子的能量 E 由光的頻率決定：E=hf 。通過光和電子的散射，我們甚至還能確定這些粒子的動量。我們發現粒子的動量 p 由光的波長 λ 唯一決定：p=h/λ。有趣的是，同一個普朗克常數 h，同時出現在能量頻率關係中和動量波長的關係中——我們又回到了早期牛頓的光的粒子說。
光到底是粒子還是波？光的干涉效應明確說明光是一種波。而光電效應又明確說明光是一種粒子。所以光集波性和粒子性存於一身，正是量子粒子的特性。之所以會這樣，是因為在我們這個世界中，「存在」這一基本概念和我們以前的想像完全不同。我們世界中的存在，其實是一種量子存在。在《返樸》文章「量子比特：一隻又死又活、不死不活的薛定諤貓丨眾妙之門」中，我們詳細地介紹了這一概念，及其相關的量子疊加概念。下面我們將用這一概念來仔細解釋一下什麼是量子粒子。
什麼是量子粒子？
「量子粒子」這個真實的存在有不同的狀態。那這些不同的狀態是用什麼數據來描寫的呢？首先，量子粒子也有不同的位置。我們用記號
來描寫粒子在位置
這一個狀態。但我們世界中存在的量子粒子，還允許一種不可思議的存在狀態，這就是兩個狀態的疊加態。比如說
和
是一個量子粒子兩個可能的不同狀態，一個代表粒子在位置
，另外一個代表粒子在位置
。那麼這兩個狀態的疊加態
，也一定是量子粒子的一個可能的狀態。這就是量子力學中的疊加原理。在這個疊加態中，粒子又在位置
又在位置
，它又不在位置
又不在位置
。我們的世界就是這樣一個奇奇怪怪的量子世界，這種莫名其妙的疊加狀態是真實存在的，且沒有對應的經典狀態，我們通常稱其為量子態（見《量子比特：一隻又死又活、不死不活的薛定諤貓丨眾妙之門》）。
這類莫名其妙的量子態還有很多種，除了
之外，
也是一個可能的量子態，代表了一個粒子可能存在的另一個狀態。更廣義的狀態還可以是
，其中 ψ1 和 ψ2 是兩個複數。
上面僅僅是講了兩個位置的疊加態。我們還可有所有不同位置的疊加態：
其中
代表對所有的位置求和。我們發現一個量子粒子的不同的疊加態，是用不同的複函數
來描寫的。這種類型的疊加態是完備的，其代表了一個粒子所有可能的量子狀態。所以一個粒子的量子狀態，被一個複函數
來完全描寫。這種對粒子狀態的描寫，形成了量子力學的基礎。
一個函數
描寫了一個量子粒子在空間上的分布，可這也是對一個波的描寫。我們發現，由於量子理論中的疊加性，對一個量子粒子狀態的描寫，相當於對一個波的描寫。這就是有名的波粒二象性，而複函數
也被叫作波函數。我們看到，量子力學的真正革命之處，就在於其修改了「存在」這一基本概念。這也是量子力學很難理解的根本原因。量子力學的內涵不在於量子化、離散化，而在於對「存在」的重新識知。這樣看來，量子力學這個名字，有點名不正言不順，沒有抓往最關鍵的內涵。「波動力學」或者「矩陣力學」這兩個名稱可能更準確。
海森堡測不準原理
海森堡
根據上面的描寫，我們知道，如果波函數
只在一點
不為零，而在其它位置都為零，那這樣一個波函數就描寫了一個處於
這個位置的粒子（圖2a）。那什麼是波函數描寫速度為
的粒子呢？速度為
的粒子其動量為
，其中 m 是粒子的質量。它對應于波長為 λ=h/p 的波：
（圖2b）。我們注意到這個波函數處處不為零，粒子出現在所有地方，位置非常不確定。這就是有名的海森堡測不準關係：一個粒子速度確定了，其位置就不確定；一個粒子位置確定了，其速度就不確定。我們找不到一個波函數，它又有一個確定的位置，又有一個確定的速度。也就是說位置速度都確定的粒子根本就不存在。
測不準關係是神奇的量子疊加原理的一個推論。一個有完全確定速度的粒子狀態，是所有不同位置的粒子狀態的一個疊加。一個有完全確定位置的粒子狀態，是所有不同速度的粒子狀態的一個疊加。所以速度的完全確定就導致了位置的完全不確定。而位置的完全確定又導致了速度的完全不確定。不管多麼彆扭，這就是我們的真實世界。
圖2：（a）一個位置完全確定的波函數。（b）一個速度完全確定的波函數。（c）一個位置有點兒不確定速度也有點兒不確定的波函數。這個波函數，描寫了我們日常說的，同時有位置有速度的粒子。其實粒子的速度位置都有點不確定。速度位置都完全確定的狀態根本不存在。因為波函數是一個複數函數，這裡藍線是波函數的實部，紅線是波函數的虛部。
上面對一個粒子的量子描寫，好像完全是胡說——一個粒子明明可以同時有位置和速度，這不僅僅是我們日常的經驗，也是實驗的觀察。說粒子不可以同時有位置和速度，有悖於已有的實驗觀察。其實這裡並沒有矛盾。量子力學說的是，位置速度都確定的東西不存在。但位置有點不確定，速度也有點不確定的東西，還是可以存在的。這樣一個狀態是由圖2c中的波函數所描寫的。我們日常經驗中所謂同時有位置和速度的粒子，其實是位置和速度都有些不確定的粒子。只不過這個不確定很小，以前沒有注意到。但這個小小的不確定性徹底顛覆了經典力學的看法。我們不能用六個數
來刻畫一個粒子的狀態，我們必須用一個波函數
來刻畫一個粒子的狀態。這個變化太大了，徹底改變了我們對世界的認知。
粒子的波性和薛定諤方程
圖3 單縫和雙縫實驗展示了我們世界中真實粒子的波動性
我們世界真實粒子的這種波動性，可以通過雙縫實驗來驗證（圖3）：我們讓一束電子通過兩個窄縫，觀察窄縫後屏幕上電子的強度分布，其由波函數的絕對值平方
給出。如果我們擋住一條縫，我們會觀察到一個強度分布，如果我們擋住另一條縫，我們會觀察到另一個強度分布。但如果兩個縫都打開，讓我們吃驚的是我們看到的不是上面兩個強度分布的和，而是一個有附加干涉條紋的強度分布。這和通過雙縫的水波所產生的干涉條紋一模一樣（圖4）。我們特別注意到，在量子世界中，兩種可能性的疊加，有時反而使可能性減少，甚至可以減少到零變成不可能。經典粒子可能性的疊加總是概率疊加，可能性不會減少，只會增加。而量子粒子可能性的疊加是波的疊加，疊加後的可能性有時增加，有時減少，甚至有時可以變成零。
圖4 波通過雙縫後的干涉條紋
通過對干涉條紋的仔細分析，我們發現電子所對應的波的波長，是由電子的動量 p（動量就是質量乘速度）來決定的：λ＝h/p，和光子的波長動量關係一模一樣。這樣德布羅意就猜測：所有粒子都是波，所有波都是粒子，它們的波長動量的關係都是 p=h/λ。受到光的能量頻率關係的啟發，德布羅意進一步猜測，所有粒子所對應的波的頻率，也都是由其能量給出的 f=h/E。
德布羅意（左）、薛定諤（右）
波函數
是對一個粒子狀態的完備描寫。也就是說知道現在這一時刻的波函數
，我們就能知道下一時刻的波函數
上面也可以寫成微分方程的形式：
這就是有名的薛定諤方程，它描寫了一個粒子的態（波函數）如何隨時間變化，給出了量子力學的預言能力。這一對粒子狀態及其隨時間演化的新描寫，就是所謂的量子力學理論。這種對粒子存在的新認知，導致了我們對大千世界的新認知，進而導致了一個新的量子世界觀。
一個質量為 m 的粒子的能量和動量，有一個確定關係 E=p2/2m。由於能量頻率關係和動量波長關係，這就導致了當我們把粒子看作是波的時候，其頻率和波長也有一個關係 f=h/2mλ2。由薛定諤方程所解出來的波，其頻率波長正好滿足這一關係。其實歷史上，薛定諤正是利用這一關係來湊出他的方程。
眼見為實
圖9 掃描隧穿顯微鏡，及其「看」到金屬表面的原子，以及金屬中跑動的電子和原子干涉所形成的駐波
電子真的是波嗎？通過掃描隧穿顯微鏡（圖9第一幅），我們還真能直接「看」到電子的波。掃描隧穿顯微鏡有一個很尖的針尖，針尖頂上只有一個原子。這個針尖在金屬表面掃描，可以看到一個個原子（對應圖9中的小尖包）。甚至可以撥動一個個原子，組成各種圖形。
仔細的讀者可以發現，原子的周圍有緩緩的波形，這就是金屬中的電子波。金屬中的電子十分不安分，跑來跑去。原子周圍緩緩的波形，就是運動中的電子，碰到金屬表面的原子，所形成的干涉現象（駐波）。我們可以根據駐波的波長λ，來估算金屬中電子跑動的速度：v=h/λme，其中h是普朗克常數，me=9 x10-28g 是電子的質量。從圖9中，我們可以讀出 λ＝14x10-8cm，我們得出電子的速度為 v=5x105m/s，這比空氣中的音速快了一千五百倍。
在絕對溫度零度時，一個體系中的粒子能量會被降到最低。這時我們會覺得每個粒子都應該處於動能最低的靜止狀態。可我們發現，即使在絕對溫度零度時，金屬中的電子還會如此瘋狂的跑來跑去，不停下來休息休息——其實這來源於電子的費米性，電子根本停不下來！以後有機會我們會來談談什麼是粒子（也就是波）的費米性。
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