04 -- 應用能量原理進行整體分析

前者是把各單元的結點位移按順序排列起來，相同的項並未歸併。後者是未經整合的整體剛度矩陣，即把各單元剛度矩陣作為主對角線上的子矩陣列入，其餘子矩陣為零。於是，重寫整個結構的應變能，可得到：

把整個結構的結點位移矢量{δ}與列陣{s}之間的關係記為：

於是，結構應變能為：

此時，定義整體剛度矩陣為：

結點載荷的外力勢為：

結構的勢能為：

由最小勢能原理，勢能取駐值，即：

得到：

可見，由最小勢能原理推導得到的方程組和由結點平衡條件推導得到的方程組是一致的。

如果採用高次單元，結點自由度中包含位移的高階導數，相應的結點力並沒有明確的物理意義，此時，利用結點平衡條件建立整體分析用的方程組是困難的。而利用最小勢能原理建立整體分析用的方程組則沒有絲毫困難。

最小勢能解的下限性質

設物體只受到一個集中力Pi的作用，而且此集中力是從零開始逐漸增加到最終值Pi的。設物體在著力點i處，沿力Pi的方向的位移為δi，則在載入過程中力所做的功為：w=pi*δi/2

此值即等於物體的應變能：U=pi*δi/2

物體的外力勢為：V=pi*δi

所以當物體處於平衡時，物體的勢能為：IIp=U-V=-pi*δi/2

在上式中，δi為精確解，根據最小勢能原理，IIp取最小值。

如果用有限單元法計算的近似位移值是di，勢能的近似值為：^IIp=U-V=-pi*di/2

既然勢能的精確值取最小值，那麼勢能的近似值應當大於其精確值，即：-pi*di/2 > -pi*δi/2

從而可以得到：di < δi

上式表明，用有限單元法把物體離散化，並用最小勢能原理求解得到的近似位移解，將不大於真實位移解。

關於這個問題，還可以解釋如下：

使用最小勢能原理求解時，必須先假定單元的位移函數，這些位移函數是連續的，但卻是近似的。從物體中取出任一單元，本來具有無限個自由度，採用位移函數以後，只能用結點位移表示有限個自由度。位移函數對單元的變形能力有所限制，增大了單元的剛度，物體的整體剛度也隨之增加了。因此，計算得到的位移近似解小於位移真實解。

拓展一下：如果按照最小余能原理求解，在相鄰單元的公共邊界上，應力是平衡的，但位移是不連續的。計算模型的變形能力增加了，比真實物體更加的柔軟，用最小余能原理求解得到的近似位移解，將大於或等於真實位移解。因而，最小余能原理具有上限性質。

採用雜交單元時，不能肯定所求得的位移近似解是大於還是小於位移真實解。大體上說，是位於按最小勢能原理和最小余能原理求解得到的兩種結果之間。

解答的收斂性

前面已經提到過，一個連續介質本來具有無限個自由度，代以有限個單元集合以後，便只有有限個自由度了。若按最小勢能原理計算，則解得的位移具有下限性質；若按最小余能原理計算，則解得的位移具有上限性質。

當按位移求解時，為了計算結果收斂於真解，應滿足下列條件：

（1）單元的剛體位移不產生應變。

（2）位移函數應反映單元常應變。當單元尺寸無限小時，單元應變將趨近於常量。

（3）位移函數應保證在相鄰單元的接觸面上，應變是有限的。按位移（最小勢能原理）求解時，只計算了單元內部的功（應變能），沒有計算相鄰單元的接觸面上的功。由於接觸面的厚度為零，當接觸面上的應變為有限值時，此功等於零。反之，當接觸面上的應變不是有限值時，此功可能不等於零，忽略它會引起一定的誤差。